Вариант №47115

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Проценты

Условие

Стоимость билета в музей составляет 500 рублей, а для льготной категории посетителей — 60% от полной стоимости. В состав группы входит 8 человек, из которых двое вправе купить льготный билет. Найдите общую стоимость билетов на всю группу.

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Графики

Условие

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в городе N с 4 по 17 февраля 1908 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало ровно 2 миллиметра осадков.

График суточного количества осадков в городе N

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Трапеция ABCD на клетчатой решетке с размером 1x1

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

Фабрика выпускает надувные бассейны. В среднем на 240 качественных бассейнов приходится 10, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленный бассейн не будет иметь дефектов.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Иррациональные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \sqrt{\frac{3}{19-7x}}=0,2

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Треугольник общего вида

Условие

В тупоугольном треугольнике ABC AC=BC=50, AH — высота, CH=40. Найдите \cos ACB.

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=-2x-8 является касательной к графику функции y=x^3+3x^2-11x-3. Найдите абсциссу точки касания.

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Треугольная призма содержит плоскость, проведенную параллельно ее боковому ребру через среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной плоскостью призмы, если объем исходной призмы равен 36.

Треугольная призма с плоскостью, параллельной боковому ребру

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Буквенные иррациональные выражения

Условие

Найдите значение выражения x+\sqrt{x^2+24x+144}, при x\leq 12.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Квадратные и степенные уравнения

Условие

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v_0 = 12 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 4 м/с2. После начала торможения за t секунд автомобиль преодолел расстояние S=v_0t-\frac{at^2}{2} (м). Сколько секунд прошло с момента начала торможения, если за это время автомобиль проехал 16 метров?

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Два велосипедиста одновременно отправились из деревни A в деревню B, расстояние между которыми 21 км. Скорость первого велосипедиста была на 3 км/ч больше скорости второго велосипедиста. Найдите скорость второго велосипедиста, если он приехал в деревню B на 10 мин позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=2x^3+9x^2-60x+5 на отрезке [-1,5; 11].

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение \sin \left( \frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; \pi ];

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

В правильном тетраэдре DABC с ребром 5 на рёбрах AD, BD и AC выбраны точки K, L и M соответственно так, что KD=MC=2, LD=4.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью KLM.

б) Найдите площадь этого сечения.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Рациональные неравенства

Условие

Для x\geqslant 0 решите систему неравенств

\begin{cases} x^4-3x^3-3x^2+5x+12\geqslant 0,\\ x^4-4x^3+x^2+4x+6\leqslant 0. \end{cases}

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

В треугольнике MNP проведены медианы MM_1 и NN_1. На сторонах MN, MP и NP взяты соответственно точки F, K и E, причём FE\parallel MM_1, FK\parallel NN_1 и MF:MN=1:3.

а) Докажите, что MK=\frac16MP,  NE=\frac13PN.

б) Найдите площадь треугольника FEK, если площадь треугольника MNP равна 48.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Часть денег от суммы 400 млн рублей размещена в банке под 12% годовых, а другая часть инвестирована в производство, причём через год эффективность вложения ожидается в размере 250% (то есть вложенная сумма x млн рублей оборачивается в капитал 2,5x млн рублей), затем отчисляются деньги на издержки, которые задаются квадратичной зависимостью 0,0022x^2 млн рублей. Разность между капиталом и издержками в производстве облагается налогом в 20%. Как распределить капитал между банком и производством, чтобы через год получить общую максимальную прибыль от размещения денег в банк и вложения денег в производство? Сколько млн рублей составит эта прибыль?

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Системы уравнений с параметром

Условие

При каких значениях параметра a система \begin{cases} x-\sqrt 3|y|=0,\\ (x-2a)^2+(y-\cos \pi a)^2 \leqslant (5a-21)^2 \end{cases} имеет ровно два решения?

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

Существуют ли такие восемьсот различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя

а) ровно в 500 раз;

б) ровно в 400 раз;

в) Найдите наименьшее возможное натуральное число, равное отношению среднего арифметического этих чисел к их наибольшему общему делителю.