Вариант №47117

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Проценты

Условие

Клиент взял в банке кредит 155 000 рублей под 17% годовых. Для того, чтобы через год полностью погасить кредит с процентами, ему необходимо каждый месяц вносить в банк одну и ту же сумму денег. Сколько рублей должен вносить в банк клиент ежемесячно?

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Диаграммы

Условие

На диаграмме изображена среднесуточная температура воздуха в Челябинске с 15 по 27 ноября 1990 года. По горизонтали указаны дни, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Используя диаграмму определите наибольшую среднесуточную температуру в Челябинске в период с 21 по 27 ноября 1990 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Диаграмма - среднесуточная температура воздуха в Челябинске с 15 по 27 ноября 1990 года

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на координатной плоскости, точки, векторы

Условие

Точки O(0; 0), B(15; 4), C(0; 18) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки A.

Параллелограмм на координатной плоскости

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. В чемпионате принимают участие 26 теннисистов, из которых 12 спортсменов из Уфы, в том числе Пётр Дроздов. Найдите вероятность того, что в первом туре Пётр Дроздов будет играть с одним из теннисистов из Уфы.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Иррациональные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \sqrt{\frac{1}{6-5x}}=\frac{1}{6}

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна \frac13 длины окружности. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на дугу окружности

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=4x-6 параллельна касательной к графику функции y=x^2-4x+9. Найдите абсциссу точки касания.

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 4\sqrt5 и 8, и боковым ребром, равным 5.

Прямая призма, в основании которой лежит ромб

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Логарифмические выражения

Условие

Найдите \log_a\frac{a}{b^4}, если \log_ab=-4.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Квадратные и степенные уравнения

Условие

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и вычисляет расстояние до воды по формуле h=5t^2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. Время падения камешков до дождя составляло 0,4 с. Определите, насколько должен подняться уровень воды в колодце после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Строительные фирмы учредили компанию с уставным капиталом 150 млн рублей. Первая фирма внесла 20% уставного капитала, вторая фирма — 22,5 млн рублей, третья — 0,3 уставного капитала, четвертая фирма внесла оставшуюся часть.

По договоренности ежегодная прибыль между фирмами будет расформирована пропорционально внесенным в уставный капитал вкладам. Какую сумму получит четвертая фирма, если прибыль составила 100 млн рублей? Ответ дайте в млн рублей.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите точку минимума функции y=(x-1)^2(x+8)+15.

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку \left( \frac{7\pi }2;\,\frac{9\pi }2\right].

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Объем тела

Условие

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 сторона основания AB равна 8\sqrt 3, а боковое ребро AA_1=6. На ребре B_1C_1 отмечена точка L так, что B_1L=2\sqrt 3. Точки K и M — середины ребер AB и A_1C_1 соответственно. Плоскость \gamma параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости \gamma.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью \gamma.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Комбинированные неравенства

Условие

Решите неравенство: \frac{\log_2(x+5)}{2^{x+2}-4^x-3}\leq\log_2(x+5).

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

Две окружности касаются внешним образом в точке P. Прямая MN касается первой окружности в точке M, а второй — в точке N.

а) Докажите, что \triangle MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь \triangle MNP, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 16.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Иван Иванович взял 910\,000 рублей в кредит под 20% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Иван Иванович переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Иван Иванович выплатил долг тремя равными годовыми платежами?

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите все значения a>0, при каждом из которых система \begin{cases} (|x|-3)^2 +(y-3)^2=4,\\ (x+3)^2 +y^2=a^2 \end{cases} имеет единственное решение.

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Условие

Бесконечная арифметическая прогрессия a_{1}, a_{2},...,a_{n},... состоит из различных натуральных чисел.

а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a_{1}, a_{2},...,a_{7} ровно 3 числа делятся на 24?

б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a_{1}, a_{2},...,a_{30} ровно 9 чисел делятся на 24?

в) Для какого наибольшего натурального числа n могло оказаться так, что среди чисел a_{1}, a_{2},...,a_{3n} больше кратных 24, чем среди чисел a_{3n+1}, a_{3n+2},...,a_{7n}, если известно, что разность прогрессии равна 1?