Вариант №47119

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Проценты

Условие

В октябре 1 кг апельсинов стоил 56 рублей. В ноябре апельсины подорожали на 15%. Сколько рублей стоил 1 кг апельсинов после подорожания в ноябре?

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Диаграммы

Условие

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в городе N за каждый месяц 1985 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в первой половине 1985 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

График среднемесячной температуры воздуха в городе N за каждый месяц 1985 года

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Четырехугольники

Условие

Диагонали AC и BD равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции, если ее высота равна 47.

Равнобедренная трапеция с перпендикулярными диагоналями

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «сумма очков равна 7»?

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Иррациональные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения \sqrt{-19x+20}=x. Если уравнение имеет более одного корня, запишите меньший из корней.

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные меры которых относятся как 2:3:4. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Окружность, разделенная точками на три дуги

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=-2x-4 является касательной к графику функции y=16x^2+bx+12. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля.

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 40 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в два раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

правильная треугольная призма с водой

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Логарифмические выражения

Условие

Найдите значение выражения (1-\log_315)(1-\log_515).

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Иррациональные уравнения

Условие

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}, где R = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 3,2 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 4,8 километров?

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

В 2005 году в посёлке проживало 55 000 человек. В 2006 году, в результате строительства новых домов, число жителей увеличилось на 6%, а в 2007 году — на 10% по отношению к 2006 году. Найдите, число жителей посёлка в 2007 году.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите точку минимума функции y=\frac23x^\tfrac32-5x+17.

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[ \frac{3\pi }2;\,3\pi \right].

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Расстояние от точки до плоскости

Условие

В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 6\sqrt{3}, а высота пирамиды равна 8. На ребрах AB, AC и AD соответственно отмечены точки M, N и K, такие, что AM=AN=\frac{3\sqrt{3}}{2} и AK=\frac{5}{2}.

а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Комбинированные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{(|2x+1|-x-2) \cdot \left ( \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1 \right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}} \geq 0.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

В окружность вписана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, один из углов которой равен 60^{\circ}. В трапецию вписана ещё одна окружность.

а) Докажите, что центр описанной окружности трапеции лежит внутри трапеции.

б) Найдите, во сколько раз CD больше радиуса окружности, касающейся сторон AB, AD и вписанной окружности трапеции ABCD, если AD>BC.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Финансовый консультант даёт рекомендации клиенту по оптимальному инвестиционному портфолио. Клиент хочет вложить средства (не более 25\,000 долларов) в два наименования акций крупных предприятий A и B. Цены на акции предприятия A составляют 5 долларов за акцию, предприятия B — 3 доллара за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести 6\,000 акций обоих наименований. По оценке консультанта прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: предприятие A — 1,1 доллара на 1 акцию, предприятие B — 0,9 доллара на 1 акцию. Сколько акций каждого предприятия должен посоветовать купить консультант клиенту, чтобы прибыль от инвестиций была максимальной?

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система \begin{cases}(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\\ x^2+(y-4)^2=a^2\end{cases} имеет ровно 2 решения.

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Сюжетные задачи из жизни

Условие

Для проведения тестирования было подготовлено 4n+3 \,(n \in \mathbb N) вопросов. Результаты тестирования заносятся на отдельную карточку в одну строку, состоящую из 4n+3 клеток. В случае верного ответа в соответствующую клетку записывается 1, в случае неверного — 0. Если в средней клетке этой строки 1, а в симметричных относительно неё числа одинаковые, то результат называется «особенным». Если же число единиц больше числа нулей, то — «удовлетворительным».

Найдите:

а) количество всех возможных различных результатов при n=1;

б) количество всех возможных «особенных» результатов при n=2;

в) формулу, по которой можно находить число всех возможных различных, одновременно «особенных» и «удовлетворительных» результатов при произвольном значении n;

г) наибольшее значение n, при котором число всех возможных различных результатов, указанных в пункте в), меньше 1500.