Вариант №47120

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Проценты

Условие

Авиабилет для обычного пассажира стоит 7000 рублей. Стоимость авиабилета для студента равна 50% от стоимости билета для обычного пассажира. Группа содержит 11 студентов и 4 преподавателей. Найдите общую стоимость билетов для всей группы.

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Диаграммы

Условие

На диаграмме показано количество посетителей сайта «Погода» во все дни с 15 по 30 августа 2003 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта в соответствующий день. Используя диаграмму определите, какого числа количество посетителей сайта «Погода» было наименьшим в период с 15 по 21 августа.

Диаграмма с количеством посетителей сайта «Погода» во все дни с 15 по 30 августа 2003 года

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Четырехугольники

Условие

Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют координаты (3; 7), (3; 11), (6; 7), (6; 11).

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

В группе туристов 50 человек. Их микроавтобусом в несколько приёмов завозят к отправной точке маршрута по 10 человек за рейс. Порядок перевозки туристов случаен. Найдите вероятность того, что турист П. отправится в первом рейсе микроавтобуса.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения \log_{14}(x-3)=\log_{14}(8x-31).

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 56^{\circ}. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O и касательными

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

График функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 6, а высота — 8.

Правильная шестиугольная призма

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Тригонометрические выражения

Условие

Найдите значение \cos\alpha, если tg\alpha=\sqrt 3, \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Иррациональные уравнения

Условие

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч2. Скорость v определяется формулой v=\sqrt{2la}, где l — пройденный автомобилем путь. С каким ускорением должен двигаться автомобиль, чтобы, преодолев расстояние 0,7 километра, он приобрел бы скорость 98 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Цена телевизора в магазине ежеквартально (в квартале — три месяца) уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Известно, что телевизор, стоимостью 50 000 рублей был продан спустя два квартала за 41 405 рублей. Найдите, на сколько процентов ежеквартально уменьшалась стоимость телевизора.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=(x+4)^2(x+1)+19 на отрезке [-5; -3].

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Показательно-тригонометрические уравнения

Условие

а) Решите уравнение 16 \cdot 5^{\cos x} -6 \cdot 10^{\cos x}=20^{cos x}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [ -\frac{11\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right ].

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Расстояние между прямыми

Условие

В основании прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} лежит ромб ABCD с диагоналями AC=10 и BD=24.

а) Докажите, что прямые B_{1}D_{1} и AC_{1} перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми B_{1}D_{1} и AC_{1}, если известно, что боковое ребро призмы равно 20.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Комбинированные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{4\log_2(x+0,5)}{5^{1-\sqrt x}-1}\leqslant 5^{\sqrt x}\log_2(x+0,5).

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

Биссектриса острого угла параллелограмма пересекает его сторону в точке K. Окружность радиусом 3 проходит через точку пересечения диагоналей и касается трёх сторон параллелограмма, причём — одна из точек касания.

а) Докажите, что треугольник ABK равнобедренный.

б) Найдите площадь параллелограмма.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Вкладчик положил две одинаковые суммы под r% годовых в банки «A» и «B». Через год условия по вкладу в банке «A» изменились и он понизил годовую ставку до 10% годовых, в то время как банк «B» оставил годовую ставку на прежнем уровне. Найдите, при каком наименьшем целом r вклад в банке «B» через 3 года будет по крайней мере на 20% больше, чем вклад в банке «A».

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Неравенства с параметром

Условие

При каких значениях параметра a неравенство

\log_{5}(4+a+(1+5a^{2}-\cos^{2}x) \cdot \sin x - a \cos 2x) \leq 1 выполняется при всех значениях x?

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Сюжетные задачи из жизни

Условие

Стрелок ведёт стрельбу по закрывающимся 4n-1\,\,(n \in \mathbb N, n > 1) мишеням, расположенным в одну линию друг за другом. Результаты стрельбы заносятся в одну строку, состоящую из 4n-1 клеток. Если мишень поражена, то в соответствующую клетку заносится 1, если нет, то 0. Если в средней клетке этой строки 1, а в симметричных относительно неё числа одинаковые, то результат называется «исключительным». Если же число единиц больше числа нулей, то — «проходным».

а) Укажите число всех возможных различных результатов при n=3.

б) Укажите число всех возможных различных «исключительных» результатов при n=2.

в) Найдите формулу, по которой можно находить число всех возможных различных результатов, которые одновременно являются «проходными» и «исключительными».

г) Укажите наибольшее значение n, при котором число всех возможных различных результатов, указанных в пункте в), меньше 1700.