Вариант №5

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Проценты

Условие

В населенном пункте 120 000 человек среди которых 18% детей. Из взрослого населения не работают 40%. Сколько работает взрослых жителей?

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Графики

Условие

На графике изображено суточное количество осадков, выпадавших в Орле с 1 по 20 октября 2007 года. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали – количество осадков в миллиметрах. Используя график определите, какого числа впервые выпало ровно 0,5 миллиметров осадков.

График - суточное количество осадков, выпадавших в Орле с 1 по 20 октября 2007 года

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой решетке с клетками размером 1×1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

Треугольник на клетчатой решетке 1x1

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

В соревнованиях по прыжкам в воду участвуют 40 спортсменов, среди которых 8 из Японии и 12 из России. Порядок выступлений участников определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что на восемнадцатом месте будет выступать спортсмен из России.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \frac{1}{3x-1}=5

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Описанная окружность

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82^{\circ}, угол ABD равен 47^{\circ}. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Четырехугольник ABCD вписанный в окружность

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

График дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к графикуНа рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к графику в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 боковое ребро равно 5, а площадь основания равна 12. Найдите объем многогранника ABCA_1B_1C_1.

Правильная шестиугольная призма

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Алгебраические выражения

Условие

Найдите значение выражения \frac{16x^2-25}{4x-5}-4x+1.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Эхолот научно-исследовательской подводной лодки, которая вертикально погружается в воду, испускает ультразвуковые импульсы, которые имеют частоту 299 МГц. Скорость погружения не превышает 5 м/с и определяется формулой:

v= c \cdot \frac{f-f_{0}}{f+f_{0}}, где

v — скорость погружения подводной лодки;

c = 1500 м/с — скорость звука в воде;

f0 — частота импульсов, испускаемых эхолотом (МГц);

f — частота сигнала, который отразился от дна (МГц).

Найдите максимально возможную частоту сигнала f после отражения от дна. Ответ укажите в МГц.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Города A и B расположены на расстоянии 630 км друг от друга. Из города A в город B выехал мотоциклист. Спустя 3 часа навстречу ему из города B по тому же маршруту выехал автомобиль. Найдите скорость мотоциклиста, если скорость автомобиля составляла 70 км/ч., а встретились они на расстоянии 350 км от города А

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Иррациональные функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=\frac23x\sqrt{x}-6x-5 на отрезке [9; 36].

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение \cos 2x-2\sqrt{2}\sin \left ( \frac{\pi }{2}+x \right )-2=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [\pi; \frac{5\pi }{2} \right ].

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Угол между прямой и плоскостью

Условие

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник со сторонами AB=12,BC=5. Боковые ребра SA= 3\sqrt{3},SB= \sqrt{171}, SD = 2\sqrt{13}.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между SC и BD.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{7}{(2^{3-x^2}-1)^2}-\frac{8}{2^{3-x^2}-1}+1\geqslant 0.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Задачи на доказательство

Условие

Точка O лежит за пределами квадрата ABCD, но в одной плоскости. OA=OB=5, OD=\sqrt{13}.

а) Докажите, что площадь квадрата ABCD меньше 36.

б) Найдите площадь квадрата ABCD.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн. рублей на определенное количество лет. Условия договора по выплатам следующие:

  • в январе каждого следующего года долг возрастает на 20% в сравнении с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
  • сумма долга в июле каждого следующего года должна быть на одно и то же значение меньше суммы долга за июль предыдущего года;

На сколько лет берется кредит, если известно, что сумма всех выплат по кредиту составит 18 млн. рублей.

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет более одного решения.

\begin{cases}x^2+16x+y^2+16y+48=\left | x^{2}+y^{2}-16 \right |, \\ x+y=a \end{cases}

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

На доске было написано 30 натуральных, необязательно различных чисел. Каждое из них больше 14 и меньше или равно 54. Среднее арифметическое всех чисел было равно 18. Вместо каждого числа на доске написали число вдвое меньшее первоначального значения. Числа, значение которых оказалось меньше 8 стерли.

а) Возможно ли, чтобы среднее арифметическое оставшихся чисел стало больше 16?

б) Возможно ли, чтобы среднее арифметическое оставшихся чисел стало больше 14, но меньше 15?

в) Определите наибольшее возможное значение среднего арифметического оставшихся чисел.