Вариант №9

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Арифметические задачи с округлением

Условие

В летнем лагере 258 детей и 56 воспитателей. Автобус рассчитан не более чем на 55 пассажиров. Какое наименьшее количество автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из лагеря в город?

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Диаграммы

Условие

На диаграмме изображена среднемесячная температура воздуха в Томске за 2010 год. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Используя диаграмму определите, сколько в 2010 году было месяцев, когда среднемесячная температура опускалась ниже 10 градусов Цельсия.

Диаграмма - среднемесячная температура воздуха в Томске за 2010 год

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Треугольник на клетчатой решетке 1x1

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

В группе туристов 50 человек. Их вертолетом несколькими рейсами доставляют на остров по 5 человек за рейс. Перевозка туристов происходит в случайном порядке. Найдите вероятность того, что турист Александр окажется в первом рейсе вертолета.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \log_4(2-x)=\log_{16}25.

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Описанная окружность

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 116^{\circ}, угол CAD равен 72^{\circ}. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Четырехугольник ABCD вписанный в окружность

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−3; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−2; 15].

График функции y=f'(x) производной функции f(x)

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 площадь основания равна 9, а боковое ребро равно 7. Найдите объем многогранника ABCB_1C_1.

Правильная треугольная призма

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Алгебраические выражения

Условие

Найдите \frac ab, если \frac{9a+b}{3a-2b}=4.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Квадратные и степенные уравнения

Условие

Некоторый прибор может безопасно нагреваться до температуры 1750 К, после чего срабатывает термопредохранитель, отключающий его. Экспериментальным путем был получен закон, по которому нагревается прибор в течение непрерывной работы: 

T(t)=at^2 + bt + T_0, где:

T(t) – температура прибора (К);

T0 = 1450 К;

t – время работы прибора (мин);

b = 175 К/мин;

\alpha = -12,5 К/мин2.

Определите наибольшее время, которое способен проработать прибор. Ответ выразите в минутах.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Имеются два куска металла массой 80 г и 70 г, которые содержат различную концентрацию серебра. Если сплавить эти два металла, то на выходе получится металл, который будет содержать 63% серебра. Если же сплавить одинаковые массы этих металлов, то результатом будет сплав, содержащий 65% серебра. Найдите, сколько граммов серебра находится в первом куске металла.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите точку максимума функции y=(x-7)^2(x+8)+29.

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение \sin\left ( 2x-\frac{3\pi}{2}\right ) = \sin x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [ -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2} \right ].

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Расстояние от точки до плоскости

Условие

ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольный параллелепипед. Ребра AB=24, BC=7, BB_{1}=4.

а) Докажите, что расстояние от точек B и D до плоскости ACD_{1} одинаковы.

б) Найдите это расстояние.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство \frac{(3^x-27)(\log_{x-1}x-\log_{x-1}3)}{(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2+5)(|x+2|-|x|)}}\geqslant 0.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

Равнобедренный треугольник ABC имеет стороны AB=10, AC=BC=13. В каждый угол этого треугольника вписана окружность единичного радиуса. Центрами этих окружностей являются точки O_1, O_2, O_3.

а) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC;

б) Найдите площадь треугольника O_1O_2O_3.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Артем взял кредит в банке 20 марта. Ниже представлен график его погашения.

Дата20.0320.0420.0520.0620.07
Долг (в процентах от кредита)100%80%60%40%0%

Текущий долг увеличивается на 3% в конце каждого месяца, начиная с марта. Выплаты по кредиту Артем производит с 1 по 20 число каждого месяца, начиная с апреля. Посчитайте на сколько процентов больше суммы кредита будет выплачено?

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Неравенства с параметром

Условие

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

имеет единственное решение.

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Сюжетные задачи из жизни

Условие

У Пети есть клетчатая доска размером 9\times9. Соседними считаются клетки, границы которых имеют общий отрезок. Начальной клеткой будем считать клетку, расположенную в левом нижнем углу доски. В левом нижнем углу доски стоит фигура «Кентавр». «Кентавр» ходит по клеткам доски ходом (k;m), то есть сначала перемещается на k клеток по горизонтали или вертикали, а затем на m клеток в перпендикулярном направлении. Числа k и m — целые неотрицательные.

а) Может ли «Кентавр» через несколько ходов оказаться в клетке, соседней с начальной, если k=1, m=2?

б) Может ли «Кентавр» через несколько ходов оказаться в клетке, соседней с начальной, если k=1, m=3?

в) При каком наибольшем k «Кентавр» через несколько ходов может оказаться в клетке, соседней с начальной, если m=8?