Задания по теме «Фигуры на квадратной решетке»

Открытый банк заданий по теме фигуры на квадратной решетке. Задания B3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1040

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки \sqrt{10}\times\sqrt{10} изображен четырехугольник ABCD. Найдите его периметр.

Четырехугольник ABCD на клетчатой решетке

Показать решение

Решение

\triangle BKC = \triangle MDC = \triangle AFD = \triangle ABE по двум катетам, следовательно BC=CD=AB=AD, откуда следует, что ABCD — ромб.

Четырехугольник ABCD на клетчатой решетке являющийся ромбом

BK=6\sqrt{10}, KC=2\sqrt{10}, BC=\sqrt{BK^2+KC^2}=\sqrt{(6\sqrt{10})^2+2\sqrt{10})^2}=20.

Пусть P_{ABCD} — периметр ромба ABCD.

P_{ABCD} = 4\cdot BC=4\cdot20=80.

Ответ

80
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1039

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Трапеция ABCD на клетчатой решетке с размером 1x1

Показать решение

Решение

Проведем среднюю линию MN трапеции ABCD. Ее длина равна полусумме оснований трапеции: MN=\frac{AD+BC}{2}. По рисунку AD=5, BC=3, а значит MN=\frac{5+3}{2}=4.

Трапеция ABCD и средняя линия MN на клетчатой решетке с размером 1x1

Ответ

4

Задание №1038

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB.

Треугольник ABC на клетчатой решетке

Показать решение

Решение

Построим высоту CH и посчитаем клетки:

Треугольник ABC на клетчатой решетке с высотой

CH = 3.

Ответ

3

Задание №867

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его медианы, проведённой из вершины C.

Треугольник ABC на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

M — середина стороны AB, следовательно, CM — медиана, CM = 4.

Треугольник с медианой из вершины C на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

 

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №866

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

Точки A, B и С на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

Посчитаем по клеткам расстояние от точки A до прямой BC. Оно равно 3.

Прямая проведенная через точки A и B на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Ответ

3
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №865

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге изображён круг площадью 36. Найдите площадь заштрихованного сектора.

Круг на клетчатой бумаге с заштрихованной областью

Показать решение

Решение

Площадь заштрихованного сектора равна половине площади всего круга, т.е. его площадь равна 0,5\cdot36=18.

Ответ

18
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №864

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведённой к гипотенузе.

Равнобедренный прямоугольный треугольник на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

Длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Гипотенуза AB = 9. Медиана CM = 4,5.

Равнобедренный прямоугольный треугольник с медианой на клетчатой решетке

Ответ

4,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №863

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB.

Точки A и B на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором катет BC = 5, катет AC = 12. Гипотенузу AB найдём по теореме Пифагора. AB = \sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13.

Построенный треугольник через точки A и B на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Ответ

13
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №862

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.

Треугольник на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

Длина средней линии MN равна половине длины стороны AB, равной 5.

MN=\frac12AB=\frac12\cdot5=2,5

Треугольник со средней линией на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Ответ

2,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №860

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Параллелограмм на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Показать решение

Решение

Проведём высоту CH параллелограммаABCD.

S_{ABCD}=AD\cdot CH.

AD=2, CH=4,

S_{ABCD}=2\cdot4=8

Параллелограмм с высотой на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Ответ

8
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.