Задания по теме «Физический смысл производной»

Открытый банк заданий по теме физический смысл производной. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1148

Тип задания: 7
Тема: Физический смысл производной

Условие

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=\frac14t^3-4t^2+t, где x —расстояние от точки отсчёта в метрах, t ­— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была 13 м/с?

Показать решение

Решение

Согласно физическому смыслу производной необходимо решить уравнение x'(t)=13.

x'(t)=\frac34t^2-8t+1. Решаем уравнение:

\frac34t^2-8t+1=13,

\frac34t^2-8t-12=0,

3t^2-32t-48=0,

t_{1,2}= \frac{16\pm\sqrt{256+3\cdot48}}{3}= \frac{16\pm\sqrt{400}}{3}= \frac{16\pm20}{3}.

t_1=-\frac43,  t_2=12.

Так как t\geqslant0, то t=12.

Ответ

12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1138

Тип задания: 7
Тема: Физический смысл производной

Условие

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=-t^4+7t^3+6t+16, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=5 с.

Показать решение

Решение

Согласно физическому смыслу производной необходимо найти x'(5).

x'(t)=-4t^3+21t^2+6.

x'(5)= -4\cdot 5^3+21\cdot 5^2+6= -500+525+6= 31.

Ответ

31
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №899

Тип задания: 7
Тема: Физический смысл производной

Условие

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=\frac14t^3-4t^2+t, где

х — расстояние от точки отсчёта в метрах,

t — время в секундах, измеренное с начала движения.

Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 12 с.

Показать решение

Решение

Согласно физическому смыслу производной необходимо найти x'(12).

x'(t) = \frac34t^2-8t+1,

x'(12) = \frac34\cdot12^2-8\cdot12+1= 108-96+1=13.

Ответ

13
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №304

Тип задания: 7
Тема: Физический смысл производной

Условие

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=\frac13 t^3-t^2-5t+18, где

x — расстояние от точки отсчета в метрах,

t — время в секундах, измеряемое с начала движения.

В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 10 м/с?

Показать решение

Решение

Найдем скорость движения точки: v(t)=x'(t)=t^2-2t-5.

По условию v(t)=10 м/с, значит, t^2-2t-5=10,

t^2-2t-15=0,

t_1=5,\;t_2=-3.

По смыслу задачи t\geq 0, следовательно, t=5 с.

Ответ

5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №89

Тип задания: 7
Тема: Физический смысл производной

Условие

Закон прямолинейного движения материальной точки равен x(t)=-\frac13t^4+4t^3-7t^2-5t-5, где

x – расстояние от точки отсчета (м);

t – время с начала движения (с).

Найдите скорость точки в момент времени t = 6 с. Ответ выразите в метрах в секунду

Показать решение

Решение

Скорость точки в определенный момент времени определяется как производная ее координаты в этот момент времени:

V(t)=\frac{dx(t)}{dt}=-\frac43t^3+12t^2-14t-5.

Найдем скорость в момент времени t = 6:

V(6)=-\frac43\cdot 216+12\cdot 36-14\cdot 6-5=-377+432=55 м/с

Ответ

55

Задание №88

Тип задания: 7
Тема: Физический смысл производной

Условие

Закон прямолинейного движения материальной точки равен x(t)=\frac12t^2+2t-15, где

x – расстояние от точки отсчета (м);

t – время с начала движения (с).

Найдите скорость точки в момент времени t = 7 с. Ответ выразите в метрах в секунду

Показать решение

Решение

Скорость точки в определенный момент времени определяется как производная ее координаты в этот момент времени:

V(t)=\frac{dx(t)}{dt}=t+2.

Найдем скорость в момент времени t = 7:

V (7) = 7 + 2 = 9 м/с

Ответ

9