Задания по теме «Геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов»

Открытый банк заданий по теме геометрические фигуры на плоскости: вычисление величин с использованием углов. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1070

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 56^{\circ}. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O и касательными

Показать решение

Решение

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть

\angle BOA = 56^{\circ}. Углы OBC и OAC прямые как углы между касательными и радиусами, проведёнными в точки касания. Сумма углов четырёхугольника равна 360^{\circ}, можем найти угол ACB.

\angle ACB = 360^{\circ}-56^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ} = 124^{\circ}.

Ответ

124
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1069

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные меры которых относятся как 2:3:4. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Окружность, разделенная точками на три дуги

Показать решение

Решение

Угловая величина всей окружности составляет 360^{\circ}, дуги, на которые опираются углы треугольника, составляют 2, 3 и 4 из 2 + 3 + 4 = 9 частей, то есть большая из них равна \frac49 окружности, 360^{\circ}\cdot\frac49=160^{\circ}. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 160^{\circ} : 2 = 80^{\circ}.

Ответ

80
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1068

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

Хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 13 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей большей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Окружность с хордой AB

Показать решение

Решение

Угловая величина всей окружности составляет 360^{\circ}, дуга, на которую опирается угол C, составляет 7 из 7+13 = 20 частей, то есть \frac{7}{20} окружности, 360^{\circ}\cdot \frac{7}{20} = 126^{\circ}. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 126^{\circ} : 2 = 63^{\circ}.

Ответ

63
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1067

Тип задания: 6
Тема: Трапеция

Условие

Большее основание равнобедренной трапеции равно 24. Боковая сторона равна 7. Синус острого угла равен \frac{\sqrt{33}}{7}. Найдите меньшее основание.

Показать решение

Решение

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, в которой BC и AD — основания, AD = 24, AB = CD = 7. Проведём высоты CK и BH. BCKH — прямоугольник, BC = KH.

равнобедренная трапеция ABCD с высотами CK и BH

Треугольник ABH прямоугольный, \cos A = \frac{AH}{AB}. Вычислим \cos A= \sqrt{1-\sin^2A}= \sqrt{1-\left (\frac{\sqrt{33}}{7}\right)^2}= \frac47. AH= AB\cos A= 7\cdot\frac47= 4. Треугольники ABH и DCK равны по гипотенузе и острому угу, откуда AH=KD=4, BC=24-4-4=16.

Ответ

16
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1066

Тип задания: 6
Тема: Параллелограмм

Условие

В параллелограмме ABCD AB = 6, AD = 9, \sin A = \frac23. Найдите большую высоту параллелограмма.

Показать решение

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне, поэтому большая высота проведена к меньшей стороне. Проведём высоту DH к меньшей стороне и рассмотрим треугольник ADH.

Параллелограмм ABCD с высотой проведенной к меньшей стороне

\sin A=\frac{DH}{AD}. Получаем: DH=AD\sin A= 9\cdot\frac23= 6.

Ответ

6
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1065

Тип задания: 6
Тема: Трапеция

Условие

Площадь треугольника МРЕ равна 68, KT — средняя линия, параллельная стороне MP. Найдите площадь трапеции MPTK.

Трапеция MPTK со средней линией

Показать решение

Решение

S_{MPTK}=S_{MPE}-S_{KTE}. KT — средняя линия, параллельная стороне MP, поэтому K и T — середины сторон и ET=\frac12EP, KE=\frac12 EM.

\triangle MPE \sim \triangle KTE по двум углам: \angle E — общий, MP \parallel KT \Rightarrow \angle MPE= \angle KTE. S_{KTE}= \frac14S_{MPE}= \frac{68}{4}= 17. S_{MPTK}= 68-17= 51.

Ответ

51
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1064

Тип задания: 6
Тема: Трапеция

Условие

Площадь треугольника АВС равна 76, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

Трапеция ABCD со средней линией

Показать решение

Решение

S_{ABED}=S_{ABC}-S_{CDE}. DE — средняя линия, параллельая стороне AB, поэтому D и E — середины сторон.

CD=\frac12CA, CE=\frac12CB, S_{ABC} =\frac12CA\cdot CB\sin C,

S_{CDE}= \frac12CD\cdot CE\sin C= \frac12\cdot\frac12CA\cdot\frac12CB\sin C= \frac14\cdot\frac12CA\cdot CB\sin C= \frac14 S_{ABC}= \frac{76}{4}=19

S_{ABED}= S_{ABC}-S_{CDE}= 76-19=57.

Ответ

57
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1063

Тип задания: 6
Тема: Треугольник общего вида

Условие

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 14, а угол между ними равен 30^{\circ}.

Треугольник со сторонами 6 и 14

Показать решение

Решение

Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними. В заданном треугольнике площадь S= \frac12\cdot6\cdot14\cdot\sin30^{\circ}= 21.

Ответ

21
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1062

Тип задания: 6
Тема: Параллелограмм

Условие

Площадь параллелограмма равна 60, две его стороны равны 8 и 12. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма.

Показать решение

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне S = ah_a. Найдём высоты параллелограмма: h_1 = 60 : 8 = 7,5, h_2 = 60 : 12 = 5. Меньшая высота этого параллелограмма равна 5.

Ответ

5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1061

Тип задания: 6
Тема: Трапеция

Условие

Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 90, а её боковые стороны равны 41. Найдите площадь трапеции.

Показать решение

Решение

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, в которой BC = 10, AD = 90 — основания, AB = CD = 41.

равнобедренная трапеция ABCD

Проведём высоты CP и BH. BCPH — прямоугольник, BC = PH = 10. Прямоугольные треугольники ABH и DCP равны по гипотенузе и катету (AB = CD, BH = CP), тогда AH = PD = (90 - 10) : 2 = 40.

Треугольник ABH прямоугольный, BH = \sqrt{41^2-40^2} = 9.

Площадь трапеции равна S = \frac{BC+AD}{2}\cdot BH= \frac{10+90}{2}\cdot 9= 450.

Ответ

450
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.