Задания по теме «Геометрические фигуры в пространстве: нахождение длины, площади, объема»

Открытый банк заданий по теме геометрические фигуры в пространстве: нахождение длины, площади, объема. Задания B8 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1086

Тип задания: 8
Тема: Параллелепипед

Условие

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины рёбер: AB = 4, BC = 6, AA_1 = 8. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C_1.

Прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1 с плоскостью

Показать решение

Решение

Прямая AB параллельна плоскости DD_1C_1C. Тогда плоскость, проходящая через неё, пересекает плоскость DD_1C_1C по прямой, параллельной AB. Такой прямой будет прямая D_1C_1. Значит, в сечении получается параллелограмм ABC_1D_1.

Так как AB\perp BB_1C_1C, то AB\perp BC_1, поэтому параллелограмм ABC_1D_1 является прямоугольником. S_{ABC_1D_1} =AB\cdot BC_1. Найдем BC_1 по теореме Пифагора: BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, BC_1 = 10. Отсюда,

S_{ABC_1D_1} = AB \cdot BC_1 = 4 \cdot 10 = 40.

Ответ

40
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1085

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат тангенса угла D_2BD.

Многогранник с прямыми двугранными углами

Показать решение

Решение

Многогранник с прямыми двугранными углами и отрезками между вершинами

Ребро D_2D перпендикулярно плоскости ABCD, поэтому угол D_2DB — прямой. Тогда tg \angle D_2BD =\frac{D_2D}{DB}. По теореме Пифагора (DB)^2 = (AD)^2 + (AB)^2 = 16 + 16 = 32. DB = 4\sqrt2. Отсюда, tg \angle D_2BD =\frac{4}{4\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}, (tg\angle D_2BD)^2=\frac12=0,5.

Ответ

0,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1084

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 стороны основания равны 4, а боковые рёбра равны 10. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC, A_1B_1 и A_1C_1.

Правильная треугольная призма АВСА_1В_1С_1

Показать решение

Решение

Рассмотрим следующий рисунок.

Правильная треугольная призма АВСА_1В_1С_1 с сечением

Отрезок MN является средней линией треугольника A_1B_1C_1, поэтому MN = \frac12 B_1C_1=2. Аналогично, KL=\frac12BC=2. Кроме того, MK = NL = 10. Отсюда следует, что четырёхугольник MNLK является параллелограммом. Так как MK\parallel AA_1, то MK\perp ABC и MK\perp KL. Следовательно, четырёхугольник MNLK является прямоугольником. S_{MNLK} = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Ответ

20
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1083

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами A и C_2.

Многогранник с прямыми двугранными углами

Показать решение

Решение

Многогранник с прямыми двугранными углами и отрезками между вершинами

Ребро C_2D_2 перпендикулярно плоскости AA_2D_2D, поэтому угол C_2D_2A — прямой. По теореме Пифагора (AC_2)^2 =  (AD_2)^2 +(D_2C_2)^2. (AD_2)^2 =  (AD)^2 +(DD_2)^2 =  4^2 + 4^2 =  32. Отсюда, (AC_2)^2 = 32 + 2^2 = 36,  AC_2 = 6.

Ответ

6
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1082

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Объём правильной четырёхугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 равен 24. Точка K — середина ребра CC_1. Найдите объём пирамиды KBCD.

Правильная четырёхугольная призма ABCDA_1B_1C_1D_1 с точкой на середине ребра CC_1

Показать решение

Решение

Согласно условию, KC является высотой пирамиды KBCD. CC_1 является высотой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1.

Так как K является серединой CC_1, то KC=\frac12CC_1. Пусть CC_1=H, тогдаKC=\frac12H. Заметим также, что S_{BCD}=\frac12S_{ABCD}. Тогда, V_{KBCD}= \frac13S_{BCD}\cdot\frac{H}{2}= \frac13\cdot\frac12S_{ABCD}\cdot\frac{H}{2}= \frac{1}{12}\cdot S_{ABCD}\cdot H= \frac{1}{12}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}. Следовательно, V_{KBCD}=\frac{1}{12}\cdot24=2.

Ответ

2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1081

Тип задания: 8
Тема: Пирамида

Условие

Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 16. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём пирамиды EABC.

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD и точка E на середине ребра SB

Показать решение

Решение

На рисунке SO является высотой пирамиды ABCD, EK является перпендикуляром к плоскости ABCD (значит, EK является высотой пирамиды EABC), поэтому

EK\parallel SO и SO и EK лежат в одной плоскости SOB.

Так как E является серединой SB, то EK является средней линией треугольника SOB, значит, EK = \frac12SO. Пусть SO = H, тогда EK = \frac12 H. Заметим также, что S_{ABC} = \frac12 S_{ABCD}. Тогда V_{EABC}= \frac13 S_{ABC}\cdot\frac{H}{2}= \frac13\cdot\frac12 S_{ABCD}\cdot\frac{H}{2}= \frac14\cdot\frac13 S_{ABCD}\cdot H= \frac14 V_{SABCD}. Следовательно, V_{EABC}=\frac14\cdot16=4.

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1080

Тип задания: 8
Тема: Пирамида

Условие

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60^{\circ}. Высота пирамиды равна 9. Найдите объём пирамиды.

Пирамида с основанием прямоугольник и перпендикулярной гранью

Показать решение

Решение

Объём пирамиды вычисляется по формуле V = \frac13\cdot Sосн.· h, где Sосн. — площадь основания, а h — высота пирамиды, равная 9. На рисунке, приведённом в условии задачи, SH — высота пирамиды и HG\perp BC. Покажем, что угол SAH является линейным углом двугранного угла между плоскостью ABS и плоскостью основания ABC, которые пересекаются по прямой AB. AH\perp AB, так как основание призмы является прямоугольником. AH является проекцией наклонной AS. Тогда по теореме о трех перпендикулярах AS\perp AB. Отсюда \frac{SH}{AH}=tg60^{\circ}=\sqrt3. \frac{9}{AH}=\sqrt3, AH=\frac{9}{\sqrt3}=3\sqrt3, AD=2AH=6\sqrt3. Аналогично убеждаемся, что угол SGH равен 60^{\circ} и HG=3\sqrt3=BC. Следовательно стороны прямоугольника, лежащего в основании, равны 3\sqrt3 и 6\sqrt3. Значит V=\frac13\cdot Sосн. · h = \frac13\cdot3\sqrt3\cdot6\sqrt3\cdot9= 162.

Ответ

162
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1079

Тип задания: 8
Тема: Пирамида

Условие

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 и 8. Её объём равен 64. Найдите высоту этой пирамиды.

Пирамида с основанием прямоугольник

Показать решение

Решение

Объём пирамиды вычисляется по формуле V=\frac13\cdot S_{osn.} \cdot h, где S_{osn} — площадь основания, а h — высота пирамиды. Отсюда h = \frac{3V}{S_{osn.}}. Площадь основания является площадью прямоугольника со сторонами 6 и 8, поэтому S_{osn.} = 6 \cdot 8 = 48. Отсюда h = \frac{3\cdot64}{48}=4.

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1078

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

Найдите площадь боковой поверхности правильной восьмиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 7.

Правильная восьмиугольная призма

Показать решение

Решение

Площадь боковой поверхности призмы находим по формуле Sбок. = Pосн. · h = 8a\cdot h, где Pосн. и h — соответственно периметр основания и высота призмы, равная 7, и a — сторона правильного восьмиугольника, равная 5. Следовательно, Sбок. = 8\cdot 5\cdot 7 = 280.

Ответ

280
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1077

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 6, а высота — 8.

Правильная шестиугольная призма

Показать решение

Решение

Площадь боковой поверхности призмы находим по формуле Sбок. = Pосн. · h = 6a\cdot h, где Pосн. и h — соответственно периметр основания и высота призмы, равная 8, и a — сторона правильного шестиугольника, равная 6. Следовательно, Sбок. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Ответ

288
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.