Задания по теме «Комбинации геометрических фигур»

Открытый банк заданий по теме комбинации геометрических фигур. Задания B8 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1074

Тип задания: 8
Тема: Комбинации геометрических фигур

Условие

Цилиндр, объём которого равен 66, описан около шара. Найдите объём шара.

Цилиндр описанный около шара

Показать решение

Решение

Из рисунка видно, что, с одной стороны, диаметр шара является диаметром окружности основания цилиндра, а с другой стороны, является высотой цилиндра. Пусть радиус шара равен R, тогда его диаметр равен 2R, значит, высота цилиндра H равна 2R. Находим объём цилиндра: Vцил. = Sосн. · H =\pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3. По условию 66 = 2\pi R^3. Отсюда \pi R^3 = 33. Так как Vшара = R^3, то искомый объём равен \frac43\cdot33=44.

Ответ

44
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1073

Тип задания: 8
Тема: Комбинации геометрических фигур

Условие

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 24. Найдите площадь поверхности шара.

Шар вписанный в цилиндр

Показать решение

Решение

Из рисунка, указанного в условии, видно, что, с одной стороны, диаметр шара является диаметром окружности основания цилиндра, а с другой стороны, является высотой цилиндра. Пусть радиус шара равен R, тогда его диаметр равен 2R, значит, высота цилиндра H равна 2R. Находим площадь полной поверхности цилиндра: S полн. пов. цил. = 2S осн. цил. + S бок. пов. цил. = 2\pi R^2 + 2\pi RH.

2\pi R^2 + 2\pi RH = 2\pi R^2 + 2\pi R\cdot 2R = 6\pi R^2. По условию 24 = 6\pi R^2. Отсюда \pi R^2 = 4. Так как S пов. шара = 4\pi R^2, то искомая площадь равна 4\cdot 4 = 16.

Ответ

16
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1072

Тип задания: 8
Тема: Комбинации геометрических фигур

Условие

Шар, объём которого равен 36\pi, вписан в куб. Найдите объём куба.

Шар вписанный в куб

Показать решение

Решение

Пусть радиус шара равен R, тогда объём шара находится по формуле V = \frac43\pi R^3.

По условию 36\pi = \frac43\pi R^3. 108 = 4R^3, R^3 = 27, R = 3. Так как шар вписан в куб, то длина ребра куба равна длине диаметра шара, но диаметр шара в два раза больше радиуса и равен 3\cdot 2 = 6. Объём куба V находится по формуле V = a^3, где a — ребро куба. Поэтому V = a^3 = 6^3 = 216.

Ответ

216
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1071

Тип задания: 8
Тема: Комбинации геометрических фигур

Условие

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого и высота равны 5. Найдите объём параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед описанный около цилиндра

Показать решение

Решение

Основанием параллелепипеда является прямоугольник, описанный около окружности радиусом 5. Значит, этот прямоугольник является квадратом, сторона которого равна диаметру окружности основания цилиндра. Так как радиус r этой окружности равен 5, то диаметр равен двум радиусам, то есть 10. Объём параллелепипеда V находим по формуле V = Sосн · h = (2\cdot r)^2\cdot r, где h — высота параллелепипеда, которая равна высоте цилиндра, то есть равна 5. Значит, объем параллелепипеда V=10^2\cdot5=500.

Ответ

500
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №917

Тип задания: 8
Тема: Комбинации геометрических фигур

Условие

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна 5\sqrt2 Найдите радиус сферы.

Показать решение

Решение

Обозначим вершину конуса через A, а центр основания через O. Проведём через AO плоскость. В этой плоскости будет находиться диаметр сферы CB, AB — образующая конуса.

Сфера описанная около конуса

Тогда треугольник AOB — прямоугольный с прямым углом AOB. При этом AO=OB=R, где R — радиус сферы. По теореме Пифагора (AO)^2+(OB)^2=(AB)^2, R^2+R^2=(5\sqrt2)^2, 2R^2=25\cdot2, R^2=25, R=5.

Ответ

5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №910

Тип задания: 8
Тема: Комбинации геометрических фигур

Условие

Куб описан около сферы радиусом 2. Найдите объём куба.

Куб описан около сферы

Показать решение

Решение

Так как куб описан около сферы, то длина диаметра этой сферы равна длине ребра куба. По условию радиус сферы равен 2, поэтому диаметр сферы в два раза больше и равен 4. Объём куба V находится по формуле V=a^3, где a — ребро куба. Поэтому V=a^3=4^3=64.

Ответ

64
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №909

Тип задания: 8
Тема: Комбинации геометрических фигур

Условие

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 4. Боковое ребро призмы равно \frac{4}{\pi}. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Цилиндр описанный около призмы с квадратным основанием

Показать решение

Решение

Рассмотрим рисунок, приведённый в условии. Диаметр основания цилиндра является диагональю AC квадрата ABCD, а радиус R основания цилиндра равен половине AC. Согласно теореме Пифагора AC= \sqrt{AB^2+BC^2}= \sqrt{4^2+4^2}= \sqrt{32}= 4\cdot\sqrt2. R=2\cdot\sqrt2. Заметим, что высота цилиндра совпадает с высотой призмы h. Отсюда следует, что V = Sосн. · h = \pi\cdot R^2\cdot h= \pi\cdot(2\sqrt2)^2\cdot\frac{4}{\pi}= 8\cdot4= 32.

Ответ

32
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №316

Тип задания: 8
Тема: Комбинации геометрических фигур

Условие

Тетраэдр содержит в себе многогранник, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра. Найдите площадь поверхности образованного многогранника, если площадь поверхности тетраэдра равна 46.

Многогранник вложенный в тетраэдр через середины ребер

Показать решение

Решение

Площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей 4 одинаковых граней. Площадь грани равна \frac{46}{4}. Площадь поверхности многогранника равна сумме площадей 8 его граней, при этом каждая его грань — треугольник, образованный средними линиями грани тетраэдра, поэтому площадь этой грани равна \frac14 площади грани тетраэдра.

Искомая площадь равна \frac14\cdot\frac{46}{4}\cdot8=23.

Ответ

23
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №314

Тип задания: 8
Тема: Комбинации геометрических фигур

Условие

Основанием прямой призмы является квадрат, сторона которого равна 4. Длина бокового ребра призмы равна \frac{8}{\pi}. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Цилиндр, описанный около призмы

Показать решение

Решение

Радиус окружности, описанной вокруг квадрата со стороной 4, равен r=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2.

Объем цилиндра равен V= \pi r^2h= \pi\cdot(2\sqrt2)^2\cdot\frac{8}{\pi}= \pi\cdot8\cdot\frac{8}{\pi}= 64.

Ответ

64
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №113

Тип задания: 8
Тема: Комбинации геометрических фигур

Условие

Около конуса с образующей равной 7\sqrt{2} описана сфера. Сфера содержит вершину конуса и его основание. Центр основания конуса и центр сферы совпадают. Найдите радиус сферы.

Сфера описанная около конуса

Показать решение

Решение

Так как центры сферы и основания конуса совпадают, то образующие конуса пересекаются под прямым углом. Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются образующие конуса, а гипотенузой – диаметр сферы. Воспользуемся теоремой Пифагора:

d^2=2\cdot (7\sqrt{2})^2=2\cdot 2\cdot 7^2=2^2\cdot 7^2

d = 2\cdot 7 = 14

Отсюда радиус равен \frac{d}{2}=7

Ответ

7