Задания по теме «Квадратные и степенные уравнения»

Открытый банк заданий по теме квадратные уравнения. Задания B10 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1091

Тип задания: 10
Тема: Квадратные и степенные уравнения

Условие

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и вычисляет расстояние до воды по формуле h=5t^2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. Время падения камешков до дождя составляло 0,4 с. Определите, насколько должен подняться уровень воды в колодце после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.

Показать решение

Решение

Пусть h_0 — расстояние до воды до дождя, h — после дождя (в метрах). После дождя время падения t уменьшится и станет равно 0,4-0,1=0,3 с. Тогда h_0-h= 5(t_0^2-t^2)= 5(0,4^2-0,3^2)= 0,35.

Ответ

0,35
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1089

Тип задания: 10
Тема: Квадратные и степенные уравнения

Условие

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m=6 кг и радиусом R=12 см и двух боковых с массами M=2 кг и радиусами R+h. Момент инерции катушки относительно своей оси вращения, определяется формулой I=\frac{(m+2M)R^2}{2}+M(2Rh+h^2) и выражается в кг · см2. Определите, при каком наибольшем значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 770 кг · см2? Ответ выразите в сантиметрах.

Показать решение

Решение

Решим неравенство I\leqslant770 относительно h, учитывая, что m=6, R=12, M=2.

\frac{(6+2\cdot2)\cdot12^2}{2}\,+ 2(2\cdot12h+h^2)\leqslant770,

720+48h+2h^2\leqslant770,

h^2+24h-25\leqslant0,

откуда -25\leqslant h\leqslant1.

Максимальное значение h равно 1 сантиметру.

Ответ

1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №937

Тип задания: 10
Тема: Квадратные и степенные уравнения

Условие

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v_0 = 12 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 4 м/с2. После начала торможения за t секунд автомобиль преодолел расстояние S=v_0t-\frac{at^2}{2} (м). Сколько секунд прошло с момента начала торможения, если за это время автомобиль проехал 16 метров?

Показать решение

Решение

Подставим данные задачи в формулу S=v_0t-\frac{at^2}{2}.

16=12t-\frac{4t^2}{2},

t^2-6t+8=0,

t_1=4,\,t^2=2.

С помощью формулы скорости при равнозамедленном движении v=v_0-at найдём время движения автомобиля до остановки: v=0, v_0=12 м/с, a=4 м/с2; 0=12-4t, откуда t=3. Итак, автомобиль остановится через 3 секунды после начала торможения.

Учитывая, что t\leqslant3, получим, что от момента начала торможения прошло 2 секунды.

Ответ

2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №934

Тип задания: 10
Тема: Квадратные и степенные уравнения

Условие

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1+8t-5t^2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

Показать решение

Решение

Решим относительно t неравенство h(t)\geqslant4.

-5t^2+8t+1\geqslant4,

5t^2-8t-1\leqslant-4,

5t^2-8t+3\leqslant0.

Найдем корни уравнения 5t^2-8t+3=0:

Вычислим дискриминант: D=b^2-4ac= -8^2-4\cdot5\cdot3= 64-60=4,

t_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}= \frac{8\pm\sqrt4}{2\cdot5}= \frac{8\pm2}{10},

t_1=\frac35,\,t_2=1;

5\left ( t-\frac35 \right ) \left ( t-1 \right )\leqslant0, откуда \frac35\leqslant t\leqslant1. Мяч будет находиться на высоте не мене четырех метров в течение 1-\frac35=\frac25=0,4 секунды.

Ответ

0,4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №323

Тип задания: 10
Тема: Квадратные и степенные уравнения

Условие

По боковой стенке промышленного цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После открытия крана вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=H_0-kt\sqrt{2gH_0}+\frac{g}{2}k^2t^2, где

H_0=45 м — начальный уровень воды;

t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана;

k=\frac{1}{50} — отношение площадей поперечных сечений крана и бака;

g = 10 м/с2 — ускорение свободного падения.

К какому моменту времени высота столба воды в баке составит не более 20 м? Ответ выразите в секундах.

Показать решение

Решение

H(t)=H_0-kt\sqrt{2gH_0}+\frac{g}{2}k^2t^2, используя данные H_0=25 м, k=\frac{1}{50}, g = 10 м/с2, H\leq20 м, получим

45-\frac{1}{50}\cdot t\sqrt{2\cdot10\cdot45}+ \frac{10}{2}\cdot \left ( \frac{1}{50} \right )^2\cdot t^2\leq20,

45-\frac{t}{50}\sqrt{900}+5\cdot\frac{1}{2500}\cdot t_2-20\leq0,

25-\frac{30t}{50}+\frac{t^2}{500}\leq0,

12\:500-300t+t^2\leq0,

t^2-300t+12\:500\leq0,

\frac{D}{4}= 150^2-12\:500= 22\:500-12\:500= 10\:000= 100^2,

t=150\pm100,

t_1=250,\;t_2=50.

50\leq t\leq250.

Ответ

50
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №319

Тип задания: 10
Тема: Квадратные и степенные уравнения

Условие

Месячный доход r некоторого предприятия на рынке определяется формулой r(p)=q\cdot p (тыс. руб.), где:

q — объем спроса на продукцию;

p — цена.

Причем объем спроса зависит от цены по формуле: q=300-60p.

Определите при каком максимальном уровне цены на продукцию p (тыс. руб.) предприятие получит доход не менее 315 тыс. руб. в месяц.

Показать решение

Решение

В формулу r(p)=q\cdot p подставим q=300-60p, получим: r(p)=(300-60p)p.

По условию r(p)\geq315, следовательно, 60p^2-300p+315\leq0,

4p^2-20p+21\leq0.

Решим неравенство методом интервалов

Метод интервалов

4p^2-20p+21=0,

p_{1,2}=\frac{10\pm\sqrt{100-84}}{4}=\frac{10\pm4}{4},

p_1=3,5;\;p_2=1,5

Максимальный уровень цены 3,5 тыс. руб.

Ответ

3,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №80

Тип задания: 10
Тема: Квадратные и степенные уравнения

Условие

Некоторый прибор может безопасно нагреваться до температуры 1750 К, после чего срабатывает термопредохранитель, отключающий его. Экспериментальным путем был получен закон, по которому нагревается прибор в течение непрерывной работы: 

T(t)=at^2 + bt + T_0, где:

T(t) – температура прибора (К);

T0 = 1450 К;

t – время работы прибора (мин);

b = 175 К/мин;

\alpha = -12,5 К/мин2.

Определите наибольшее время, которое способен проработать прибор. Ответ выразите в минутах.

Показать решение

Решение

Подставим числовые значения в уравнение зависимости температуры прибора от времени его работы, после чего найдем время, через которое прибор нагреется до 1750 К:

T(t)=at^2 + bt + T_0

1750 = -12,5t^2 + 175t+1450

12,5t^2-175t-1450+1750=0

12,5t^2-175t+300=0

125t^2-1750t+3000=0

Разделим левую и правую часть квадратного уравнения на 125 и решим его относительно t:

t^2-14t+24=0

по теореме, обратной теореме Виета:

\begin{cases} t_1+t_2=14 \\ t_1\cdot t_2=24 \end{cases}

Методом подбора определяем корни уравнения:

\begin{cases} t_1=2 \\ t_2=12 \end{cases}

Спустя 2 минуты после включения прибор безопасно нагреется до температуры 1750 K, после чего сработает предохранитель. Таким образом, максимальное время работы до отключения равно 2 минуты.

Ответ

2

Задание №63

Тип задания: 10
Тема: Квадратные и степенные уравнения

Условие

Одним из знаменитейших мостов в мире считается мост «Золотые Ворота» в Сан-Франциско. Вы и сами наверняка видели его в американских фильмах. Сконструирован он следующим образом: между двумя огромными пилонами, установленными на берегу, протянуты основные несущие цепи, к которым, перпендикулярно земле, вертикально подвешиваются балки. К этим балкам, в свою очередь, крепится полотно моста. При большой протяженности моста применяются дополнительные опоры. В этом случае висячий мост состоит из «сегментов».

мост «Золотые Ворота» в Сан-Франциско

На рисунке изображена схема одного из сегментов моста. Обозначим начало координат в точке установки пилона, ось Ox направим по полотну моста, а Oy – вертикально вдоль пилона. Расстояние от пилона до балок и между балками составляет 100 метров.

Определите длину ближайшей к пилону балки, если форма цепи моста определяется уравнением:

y=0,0061\cdot x^2-0,854\cdot x+33

в котором x и y – величины, которые измеряются в метрах. Ответ выразите числом в метрах.

Показать решение

Решение

Дина балки – это координата y. По условию задачи, ближайшая к пилону балка находится на расстоянии 100 м от него. Таким образом, нам необходимо вычислить значение y в точке x = 100. Подставляя значение в уравнение формы цепи, получим: 

y=0,0061\cdot 100^2-0,854\cdot 100+33

y=61-85,4+33

y = 8,6

Значит длина ближайшей к пилону балки составляет 8,6 метров.

Ответ

8,6