Задания по теме «Логарифмические функции»

Открытый банк заданий по теме логарифмические функции. Задания B12 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1132

Тип задания: 12
Тема: Логарифмические функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=5x^2-12x+2\ln x+37 на отрезке \left[\frac35; \frac75\right].

Показать решение

Решение

ОДЗ: x>0.

Найдём производную исходной функции:

y'(x)= 10x-12+\frac{2}{x}= \frac{10x^2-12x+2}{x}.

Определим нули производной: y'(x)=0;

\frac{10x^2-12x+2}{x}=0,

5x^2-6x+1=0,

x_{1,2}= \frac{3\pm\sqrt{3^2-5\cdot1}}{5}= \frac{3\pm2}{5},

x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],

x_2=1\in\left[\frac35; \frac75\right].

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом промежутке.

Знаки производной и промежутки монотонности функции на отрезке

Из рисунка видно, что на отрезке \left[\frac35; 1\right]исходная функция убывает, а на отрезке \left[1; \frac75\right]возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке \left[\frac35; \frac75\right]достигается при x=1 и равно y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

Ответ

30
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1124

Тип задания: 12
Тема: Логарифмические функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=4x^2-19x+11\ln x+715 на отрезке \left[\frac34; \frac54\right].

Показать решение

Решение

ОДЗ: x>0.

Найдём производную исходной функции:

y'(x)= 8x-19+\frac{11}{x}= \frac{8x^2-19x+11}{x}.

Определим нули производной: y'(x)=0;

\frac{8x^2-19x+11}{x}=0,

8x^2-19x+11=0,

x_{1,2}= \frac{19\pm\sqrt{19^2-4\cdot8\cdot11}}{2\cdot8}= \frac{19\pm3}{16},

x_1=1,

x_1\in \left[\frac34; \frac54\right],

x_2=\frac{22}{16}=\frac{11}{8}>\frac{10}{8}=\frac{5}{4},

x_2\notin \left[\frac34; \frac54\right].

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Знаки производной и промежутки монотонности функции

Из рисунка видно, что на отрезке \left[\frac34; 1\right] исходная функция возрастает, а на отрезке \left[1; \frac54\right] убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке \left[\frac34; \frac54\right] достигается при x=1 и равно y(1)= 4\cdot 1^2-19\cdot 1+11 \ln 1+715= 700.

Ответ

700
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1116

Тип задания: 12
Тема: Логарифмические функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=7x-\ln(x+11)^7 на отрезке [-10,5;\,\,0].

Показать решение

Решение

ОДЗ: (x+11)^7>0, x+11>0, x>-11. На ОДЗ исходная функция примет вид:y=7x-7 \ln (x+11).

Найдём производную: y'=7-\frac{7}{x+11}. Определим нули производной: 7-\frac{7}{x+11}=0,

\frac{1}{x+11}=1,

x=-10.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Знаки производной и промежутки монотонности функции

Из рисунка видно, что на отрезке [-10,5; -10] исходная функция убывает, а на отрезке [-10; 0] возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [-10,5; 0] достигается при x=-10 и равно y(-10)= 7\cdot (-10)-\ln (-10+11)^7= -70.

Ответ

-70
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №952

Тип задания: 12
Тема: Логарифмические функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=\ln(x+7)^9-9x на отрезке [-6,5; 0].

Показать решение

Решение

ОДЗ. (x+7)^9>0,  x+7>0,  x>-7.

Так как на ОДЗ \ln(x+7)^9=9\ln(x+7), то исходная функция примет вид: y=9\ln(x+7)-9x. Найдём производную: y'=\frac{9}{x+7}-9.

Определим нули производной

\frac{9}{x+7}-9=0,

\frac{1}{x+7}=1,

x=-6.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

Из рисунка видно, что на отрезке [-6,5; -6] исходная функция возрастает, а на отрезке [-6; 0] — убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [-6,5; 0] достигается при x=-6 и равно y(-6)=\ln(-6+7)^9-9\cdot(-6)=54.

Ответ

54
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №336

Тип задания: 12
Тема: Логарифмические функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=12x-\ln(12x)+100 на отрезке \left [\frac{1}{36}; \frac34 \right ].

Показать решение

Решение

y'=(12x-\ln(12x)+100)'=12-\frac{12}{12x}=\frac{12x-1}{x}.

y'=0 при x=\frac{1}{12}, причем y' меняет знак в этой точке с «−» на «+». Это означает, что x=\frac{1}{12} является точкой минимума.

y\left ( \frac{1}{12} \right )=12\cdot\frac{1}{12}-\ln\left ( 12\cdot\frac{1}{12} \right )+100=1-0+100=101.

Ответ

101
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №125

Тип задания: 12
Тема: Логарифмические функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=\ln(x+8)^3-3x на отрезке [−7,5; 0]

Показать решение

Решение

Выполним преобразования и вычислим производную.

y=3\ln(x+8)-3x

y'=\frac{3}{x+8}-3

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

\frac{3}{x+8}=3

x+8=1

x=-7

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция.

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

При переходе через точку x = −7 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = −7 – точка максимума функции.

Найдем наибольшее значение функции в точке x = −7.

y(-7)=3\ln1+21=21

Наибольшее значение функции равно 21.

Ответ

21

Задание №124

Тип задания: 12
Тема: Логарифмические функции

Условие

Найдите точку максимума функции y=\log_2(4+10x-x^2)-71.

Показать решение

Решение

Определим область допустимых значений функции.

4+10x-x^2>0

x^2-10x-4<0

5-\sqrt{29}<x<5+\sqrt{29}

Вычислим производную функции.

y'=\frac{10-2x}{(4+10x-x^2)\ln2}

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

10-2x=0

x = 5

На числовой оси отложим граничные точки ОДЗ и точку экстремума и посмотрим как ведет себя функция.

Граничные точки отрезка и точка экстремума на числовой оси

При переходе через точку x = 5 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = 5 – точка максимума функции.

Ответ

5

Задание №123

Тип задания: 12
Тема: Логарифмические функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=\ln(x+5)^4-4x на отрезке [−4,5; 0].

Показать решение

Решение

Выполним преобразования и вычислим производную.

y=4\ln(x+5)-4x

y'=\frac{4}{x+5}-4

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

\frac{4}{x+5}=4

x+5=1

x=-4

На числовой оси отложим граничные точки отрезка и точку экстремума и посмотрим как ведет себя функция.

Граничные точки отрезка и точка экстремума на числовой оси

При переходе через точку x = −4 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = −4 – точка максимума функции.

Найдем наибольшее значение функции в точке x = −4.

y(-4)=\ln(-4+5)^4-4\cdot(-4)=16

Наибольшее значение функции равно 16.

Ответ

16