Задания по теме «Логарифмические неравенства»

Открытый банк заданий по теме логарифмические неравенства. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №995

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{\log_{25}(2-x)+\log_{35}\dfrac{1}{2-x}}{\log_{35}x^3-3\log_{49}x}\leq \log_{49}25.

Показать решение

Решение

Найдём ОДЗ неравенства.

\begin{cases} 2-x > 0, \\ x > 0, \\ \log_{35}x^3-3\log_{49}x \neq 0;\end{cases}

\begin{cases}x < 2, \\ x > 0, \\ \frac{3 \ln x}{\ln 35} -\frac{3 \ln x}{\ln 49} \neq 0;\end{cases}

\begin{cases} x < 2, \\ x > 0, \\ \ln x \left ( \frac{1}{ \ln 35}-\frac{1}{\ln 49}\right ) \neq 0;\end{cases}

\begin{cases}x < 2, \\ x > 0, \\ \ln x \neq 0; \end{cases}

\begin{cases}x < 2, \\ x > 0, \\ x \neq 1; \end{cases}

(0;1) \cup (1;2).

Исследуем знак левой части неравенства.

При 0 < x < 1:

\log_{35}x^3-3\log_{49}x= 3\log_{35}x-3\log_{49}x= \frac{3}{\log_{x}35}-\frac{3}{\log_{x}49} < 0

(так как \log_{x}49 < \log_{x}35 < 0).

\log_{25}(2-x)+\log_{35}\left ( \frac{1}{2-x}\right )= \log_{25}(2-x)-\log_{35}(2-x)= \frac{1}{\log_{2-x}25}-\frac{1}{\log_{2-x}35} > 0 (так как 2-x > 1, и значит, 0 < \log_{2-x}25 < \log_{2-x}35).

При 1 < x < 2:

\log_{35}x^{3}-3 \log_{49}x= 3 \log_{35}x-3 \log_{49}x= \frac{3}{\log_{x}35}-\frac{3}{\log_{x}49} > 0

(так как 0 < \log_{x}35 < \log_{x}49);

\log_{25}(2-x)+\log_{35}\left ( \frac{1}{2-x}\right )= \log_{25}(2-x)-\log_{35}(2-x)= \frac{1}{\log_{2-x}25}-\frac{1}{\log_{2-x}35} < 0 (так как 2-x < 1, и значит, \log_{2-x}35 < \log_{2-x}25 < 0).

Таким образом, левая часть исходного неравенства отрицательна при всех значениях x из ОДЗ. С другой стороны, \log_{49}25 > 0. Значит, левая часть исходного неравенства не превосходит \log_{49}25 при любом значении x из ОДЗ.

Следовательно, решение данного неравенства: (0;1) \cup (1;2).

Ответ

(0;1) \cup (1;2).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №960

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство: \frac{\log_2(x+5)}{2^{x+2}-4^x-3}\leq\log_2(x+5).

Показать решение

Решение

ОДЗ: \begin{cases} x+5 > 0,\\2^{x+2}-4^x-3 \neq 0;\end{cases}\enspace \begin{cases} x> -5, \\ 2^{2x} -4 \cdot 2^x+3 \neq0;\end{cases}\enspace \begin{cases} x > -5, \\ x\neq 0, \\ x \neq \log_2 3\end{cases}.

x \in(-5;0)\cup(0;\log_2 3)\cup (\log_2 3; +\infty ).

\frac{(1-4\cdot2^x+4^x+3)\log_2 (x+5)}{(2^x -1)(2^x -3)} \geq0,

\frac{(2^x -2)^2 \log_2 (x+5)}{(2^x - 2^0)(2^x -2^{\log_2 3})} \geq0.

Применим метод замены множителя, учитывая, что

а) \log_{h(x)} f(x)\rightarrow (h(x)-1)(f(x)-1), тогда

\log_2 (x+5) \rightarrow (2-1)(x+5-1)= x+4.

б) h(x)^{p(x)}-h(x)^{q(x)} \rightarrow (h(x)-1) (p(x)-q(x)), тогда

2^x -2\rightarrow (2-1)(x-1)=x-1,

2^x -2^0 =(2-1)(x-0)=x ,

2^x -2^{\log_2 3}= (2-1)(x-\log_2 3)= x-\log_2 3.

Неравенство примет вид \frac{(x+4)(x-1)^2}{x(x-\log_2 3)} \geq 0. Решим его методом интервалов.

Метод интервалов

Учитывая ОДЗ x> -5, x \neq 0 и x\neq \log_2 3, получим -4 \leq x < 0; x > \log_2 3. x=1.

Ответ

[-4;0)\cup\left\{1\right\}\cup(\log_2 3;+\infty)

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №235

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{4^{x}+\log_{2}x-12}{\log_{2}x-2^{x}} \geq 1.

Показать решение

Решение

Очевидно, что x > 0. Заметим, что \log_{2}x < 2^{x} при x > 0, график функции y=\log_{2}x лежит ниже прямой y=x, а график функции y=2^{x} лежит выше этой прямой, поэтому знаменатель дроби принимает только отрицательные значения. Докажем, что это верно.

Докажем, что 2^{x} > x. Рассмотрим f(x)=2^{x}-x.

f'(x)=2^{x} \ln2-1.

f'(x)=0 при 2^{x} \ln2-1=0, 

2^{x}=\frac{1}{\ln2},

x_{1}=\log_{2} \frac{1}{\ln2} — точка минимума, f(x_{1}) — наименьшее значение f(x).

Докажем, что f(x_{1}) > 0.

\frac{1}{\ln2}-\log_{2}\frac{1}{\ln2} > 0;

\log_{2}e-\log_{2}\log_{2}e > 0;

\log_{2}e > \log_{2}\log_{2}e;

e > \log_{2}e;

2^{e} > e.

Это верно, так как 2^{e} > 2^{2} > e.

Мы доказали, что 2^{x} > x. Но тогда \log_{2}2^{x} > \log_{2}x и x > \log_{2}x.

2^{x} > x > \log_{2}x, значит, 2^{x}-\log_{2}x > 0.

Умножив обе части неравенства на \log_{2}x-2^{x}, получим неравенство 4^{x}+\log_{2}x-12 \leq \log_{2}x-2^{x}, которое легко сводится к неравенству 4^{x}+2^{x}-12 \leq 0. Решив его методом подстановки, найдем все его решения x \leq \log_{2}3. Учитывая, что x > 0, получим все решения данного неравенства: x \in (0; \log_{2}3]

Ответ

(0; \log_{2}3]

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №221

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство \log_{3}\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{1+\log_{3}9x}\geq 0.

Показать решение

Решение

Преобразуем неравенство:

\log_{3}3-\log_{3}x^{2}+\frac{4}{\log_{3}9+\log_{3}x+1} \geq 0

так как x>0, то 1-2\log_{3}x+\frac{4}{3+\log_{3}x} \geq 0.

Обозначим \log_{3}x=t. Получим неравенство 1-2t+\frac{4}{t+3} \geq0.

\frac{t+3-2t(t+3)+4}{t+3} \geq0;

\frac{-2t^{2}-5t+7}{t+3} \geq0;

\frac{-(t-1)(t+\dfrac{7}{2})}{t+3} \geq 0.

Метод интервалов

Значит, t \leq -3,5 или -3 < t \leq 1. Возвращаясь к x, получаем \log_{3}x \leq -3,5,\: 0<x\leq3^{-3,5}

-3<\log_{3}x \leq1,\: \frac{1}{27} < x \leq 3.

Ответ

\left (0; \frac{\sqrt 3}{81} \right ] \cup \left (\frac{1}{27}; 3 \right ]

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №200

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{\dfrac{3}{2x+1}+\log_2\dfrac{x+2}{4}}{\sqrt{-x}}>0.

Показать решение

Решение

ОДЗ:\enspace\begin{cases}2x+1\neq0,\\-x>0,\\ x+2>0; \end{cases}\enspace\begin{cases} x\neq\frac{1}{2},\\ x<0; \\ x>-2.\end{cases}

-2<x<-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}<x<0. Данное неравенство для всех x из ОДЗ равносильно неравенству \log_2\frac{x+2}{4}>-\frac{3}{2x+1}.

Решим последнее неравенство на каждом из промежутков ОДЗ.

1) -2<x<-\frac{1}{2}. Оценим левую и правую части неравенства:

\log_2\frac{x+2}{4}<\log_2\frac{3}{8}<0, -\frac{3}{2x+1}>0.

Так как для всех x из промежутка \left(-2;-\frac{1}{2}\right) выполняется неравенство \log_2\frac{x+2}{4}<0<-\frac{3}{2x+1}, то неравенство \log_2\frac{x+2}{4}>-\frac{3}{2x+1}, а следовательно, и исходное неравенство на промежутке \left(-2;-\frac{1}{2}\right) не имеет решений.

2) Если -\frac{1}{2}<x<0, то выполняется неравенства

\log_2\frac{x+2}{4}>\log_2\frac{3}{8}>\log_2\frac{1}{4}>-2.

-\frac{3}{2x+1}<-3, так как 0<2x+1<1. Значит, любое значение из промежутка \left(-\frac{1}{2};0\right) является решением неравенства \log_2\frac{x+2}{4}>-\frac{3}{2x+1}, а следовательно, и исходного неравенства.

Итак, множеством решений исходного неравенства является промежуток \left(-\frac{1}{2};0\right).

Ответ

\left(-\frac{1}{2};0\right)

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №160

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство 7^{\ln \left ( x^{2}-2x \right )}\leq \left ( 2-x \right )^{\ln 7}.

Показать решение

Решение

Преобразуем неравенство:

\ln \left ( 7^{\ln \left ( x^{2}-2x \right )} \right )\leq \ln \left ( \left ( 2-x \right )^{\ln 7} \right )

\ln 7\cdot \ln \left ( x^{2}-2x \right )\leq \ln7\cdot \ln\left ( 2-x \right )

\ln\left ( x^{2}-2x \right )\leq \ln\left ( 2-x \right )

0< x^{2}-2x\leq 2-x

\begin{cases} x^{2}-2x> 0 \\ \left ( x-2 \right )\left ( x+1 \right )\leq 0 \end{cases}

Получим -1\leq x< 0.

Ответ

[-1; 0).

Источник: «Математика ЕГЭ 2016. Типовые тестовые задания». Под ред. И. В. Ященко.