Задания по теме «Логарифмические неравенства»

Открытый банк заданий по теме логарифмические неравенства. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1195

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство \log_{\tfrac{\sqrt 2+\sqrt 3}3}5\geqslant \log_{\tfrac{\sqrt 2+\sqrt 3}3}(7-x^2).

Показать решение

Решение

ОДЗ: 7-2^x>0, x<\log_27.

Заметим, что \sqrt 2>1,4, a \sqrt 3>1,7. Тогда \frac{\sqrt 2+\sqrt 3}3>1.

Получаем неравенство 5\geqslant 7-2^x, 2^x\geqslant 2, x\geqslant 1.

С учетом ОДЗ имеем x\in[1; \log_27).

Ответ

[1; \log_27).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №995

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{\log_{25}(2-x)+\log_{35}\dfrac{1}{2-x}}{\log_{35}x^3-3\log_{49}x}\leq \log_{49}25.

Показать решение

Решение

Найдём ОДЗ неравенства.

\begin{cases} 2-x > 0, \\ x > 0, \\ \log_{35}x^3-3\log_{49}x \neq 0;\end{cases}

\begin{cases}x < 2, \\ x > 0, \\ \frac{3 \ln x}{\ln 35} -\frac{3 \ln x}{\ln 49} \neq 0;\end{cases}

\begin{cases} x < 2, \\ x > 0, \\ \ln x \left ( \frac{1}{ \ln 35}-\frac{1}{\ln 49}\right ) \neq 0;\end{cases}

\begin{cases}x < 2, \\ x > 0, \\ \ln x \neq 0; \end{cases}

\begin{cases}x < 2, \\ x > 0, \\ x \neq 1; \end{cases}

(0;1) \cup (1;2).

Исследуем знак левой части неравенства.

При 0 < x < 1:

\log_{35}x^3-3\log_{49}x= 3\log_{35}x-3\log_{49}x= \frac{3}{\log_{x}35}-\frac{3}{\log_{x}49} < 0

(так как \log_{x}49 < \log_{x}35 < 0).

\log_{25}(2-x)+\log_{35}\left ( \frac{1}{2-x}\right )= \log_{25}(2-x)-\log_{35}(2-x)= \frac{1}{\log_{2-x}25}-\frac{1}{\log_{2-x}35} > 0 (так как 2-x > 1, и значит, 0 < \log_{2-x}25 < \log_{2-x}35).

При 1 < x < 2:

\log_{35}x^{3}-3 \log_{49}x= 3 \log_{35}x-3 \log_{49}x= \frac{3}{\log_{x}35}-\frac{3}{\log_{x}49} > 0

(так как 0 < \log_{x}35 < \log_{x}49);

\log_{25}(2-x)+\log_{35}\left ( \frac{1}{2-x}\right )= \log_{25}(2-x)-\log_{35}(2-x)= \frac{1}{\log_{2-x}25}-\frac{1}{\log_{2-x}35} < 0 (так как 2-x < 1, и значит, \log_{2-x}35 < \log_{2-x}25 < 0).

Таким образом, левая часть исходного неравенства отрицательна при всех значениях x из ОДЗ. С другой стороны, \log_{49}25 > 0. Значит, левая часть исходного неравенства не превосходит \log_{49}25 при любом значении x из ОДЗ.

Следовательно, решение данного неравенства: (0;1) \cup (1;2).

Ответ

(0;1) \cup (1;2).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №221

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство \log_{3}\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{1+\log_{3}9x}\geq 0.

Показать решение

Решение

Преобразуем неравенство:

\log_{3}3-\log_{3}x^{2}+\frac{4}{\log_{3}9+\log_{3}x+1} \geq 0

так как x>0, то 1-2\log_{3}x+\frac{4}{3+\log_{3}x} \geq 0.

Обозначим \log_{3}x=t. Получим неравенство 1-2t+\frac{4}{t+3} \geq0.

\frac{t+3-2t(t+3)+4}{t+3} \geq0;

\frac{-2t^{2}-5t+7}{t+3} \geq0;

\frac{-(t-1)(t+\dfrac{7}{2})}{t+3} \geq 0.

Метод интервалов

Значит, t \leq -3,5 или -3 < t \leq 1. Возвращаясь к x, получаем \log_{3}x \leq -3,5,\: 0<x\leq3^{-3,5}

-3<\log_{3}x \leq1,\: \frac{1}{27} < x \leq 3.

Ответ

\left (0; \frac{\sqrt 3}{81} \right ] \cup \left (\frac{1}{27}; 3 \right ]

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.