Задания по теме «Окружность»

Открытый банк заданий по теме окружность. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1070

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 56^{\circ}. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O и касательными

Показать решение

Решение

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть

\angle BOA = 56^{\circ}. Углы OBC и OAC прямые как углы между касательными и радиусами, проведёнными в точки касания. Сумма углов четырёхугольника равна 360^{\circ}, можем найти угол ACB.

\angle ACB = 360^{\circ}-56^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ} = 124^{\circ}.

Ответ

124
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1069

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные меры которых относятся как 2:3:4. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Окружность, разделенная точками на три дуги

Показать решение

Решение

Угловая величина всей окружности составляет 360^{\circ}, дуги, на которые опираются углы треугольника, составляют 2, 3 и 4 из 2 + 3 + 4 = 9 частей, то есть большая из них равна \frac49 окружности, 360^{\circ}\cdot\frac49=160^{\circ}. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 160^{\circ} : 2 = 80^{\circ}.

Ответ

80
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1068

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

Хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 13 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей большей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Окружность с хордой AB

Показать решение

Решение

Угловая величина всей окружности составляет 360^{\circ}, дуга, на которую опирается угол C, составляет 7 из 7+13 = 20 частей, то есть \frac{7}{20} окружности, 360^{\circ}\cdot \frac{7}{20} = 126^{\circ}. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 126^{\circ} : 2 = 63^{\circ}.

Ответ

63
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №896

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна \frac13 длины окружности. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на дугу окружности

Показать решение

Решение

Угловая величина всей окружности составляет 360^{\circ}, дуга составляет треть окружности, то есть 360^{\circ}:3=120^{\circ}. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 120^{\circ}:2=60^{\circ}.

Ответ

60
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №51

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

На рисунке изображена окружность с центром O. Прямые AC и BD являются диаметрами окружности. Угол ACB равен 21^{\circ}. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O и прямыми

Показать решение

Решение

Так как угол ACB вписан в окружность, то градусная мера дуги AB, на которую он опирается, в 2 раза больше величине этого угла, и равна:

\cup AB=2\cdot\angle ACB=2\cdot21^{\circ}=42^{\circ}

Так как BD — диаметр окружности, то его градусная мера равна 180^{\circ}. Найдем градусную меру угла дуги AD:

\cup AD=180^{\circ}-\cup AB=180^{\circ}-42^{\circ}=138^{\circ}

Так как угол AOD — центральный, то его величина равна градусной мере дуги окружности AD, следовательно:

\angle AOD=\cup AD=138^{\circ}

Ответ

138

Задание №48

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

Угол ACB равен 54^{\circ}. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащих точек D и E, равна 138^{\circ}. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O

Показать решение

Решение

Угол DAE мы можем найти зная два остальных угла треугольника ACD. Угол ACB нам известен и равен углу ACD. Угол ADC является разностью развернутого угла BDC и угла ADB. Угол ADB является вписанным в окружность, а значит его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Из условия задачи градусная мера дуги AB известна. Найдем угол ADB:

\angle ADB=138^{\circ}:2=69^{\circ}

Найдем угол ADC:

\angle ADC=180^{\circ}-\angle ADB=180^{\circ}-69^{\circ}=111^{\circ}

Угол DAE равен углу DAC. Зная два угла треугольника, найдем искомый угол DAE:

\angle DAE=180^{\circ}-\angle ADC-\angle ACD=180^{\circ}-111^{\circ}-54^{\circ}=15^{\circ}

Ответ

15

Задание №47

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

На рисунке изображена окружность с центром O. Прямые CA и CB являются касательными к окружности. Меньшая дуга AB равна 64^{\circ}. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O и двумя прямыми CA и CB

Показать решение

Решение

Прямые CA и CB являются касательными к окружности, значит они образуют прямой угол с радиусом окружности, то есть с прямыми OA и OB. Сумма углов четырехугольника равна 360^{\circ}. Найдем неизвестный угол ACB:

\angle ACB=360^{\circ}-2\cdot 90^{\circ}-64^{\circ}=116^{\circ}

Ответ

116

Задание №46

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

На рисунке изображена окружность с центром O. Угол ACO равен 27^{\circ}. Сторона CA – касательная к окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B. Найдите величину меньшей дуги окружности AB. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O

Показать решение

Решение

Прямая AC является касательной к окружности, значит радиус AO образует с ней прямой угол, следовательно треугольник AOC прямоугольный. Величину меньшей дуги окружности AB вы можем найти зная градусную меру угла AOB. Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180^{\circ}, найдем угол AOB:

\angle AOB = 180^{\circ}-90^{\circ}-27^{\circ} = 63^{\circ}

Так как угол AOB – центральный, то величина меньшей дуги окружности AB равна градусной мере этого угла, а значит величина дуги равна 63^{\circ}

Ответ

63