Задания по теме «Окружности и треугольники»

Открытый банк заданий по теме окружности и треугольники. Задания C4 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1001

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

К окружности, вписанной в правильный треугольник ABC, проведена касательная, пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно и касающаяся окружности в точке T.

а) Докажите, что периметр треугольника MNC равен стороне треугольника ABC.

б) Найдите MT:TN, если известно, что CM: MA=1:4.

Показать решение

Решение

а) Пусть K и L — точки касания окружности и сторон BC и AC соответственно.

Окружность вписанная в правильный треугольник

Так как MT=ML и NK=NT как отрезки касательных, проведенных из одной точки, то

P_{MNC}= CM+MT+TN+NC= CM+ML+KN+NC= CL+KC.

Так как ABC — правильный треугольник, то CL=KC=\frac{AC}{2}. Следовательно, P_{MNC}=AC, что и требовалось доказать.

б) 1. Обозначим TN=x, CM=a. Так как CM:MA=1:4 по условию, то MA=4a и AC=5a.

Тогда CL=\frac{AC}{2}=\frac{5}{2}a и ML=CL-CM=\frac{5}{2}a-a=\frac{3}{2}a. Так как ML=MT, то MT=\frac{3}{2}a. Тогда MN=MT+TN=\frac{3}{2}a+x.

Так как NT=NK, то NK=x. Тогда CN=CK-NK=\frac{BC}{2}-x=\frac{5}{2}a-x.

2. По теореме косинусов для треугольника MNC

MN^2=CN^2+CM^2- 2 \cdot CN \cdot CM \cdot \cos \angle NCM. Подставляя в это уравнение выражения для сторон треугольника MNC, получим:

\left ( \frac{3}{2}a+x\right )^2= \left ( \frac{5}{2}a-x\right )^2+a^2-2\left ( \frac{5}{2}a-x\right )a \cos 60^\circ;

\frac{9}{4}a^2+2 \cdot \frac{3}{2}ax+x^2= \frac{25}{4}a^2-2 \cdot \frac{5}{2}ax+x^2+a^2- 2\left ( \frac{5}{2}a-x \right )a \cdot \frac{1}{2};

7ax=\frac{5}{2}a^2;

x=\frac{5}{14}a.

Таким образом, TN=x=\frac{5}{14}a.

3. Тогда MT:TN=\frac{3}{2}a:\frac{5}{14}a=21:5.

Ответ

б) 21:5.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1000

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

Окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC соответственно в точках D и E. Точки A, D, E и C лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник равнобедренный.

б) Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из точки A, если длины сторон AB и AC соответственно равны 10 и 4.

Показать решение

Решение

а) Так как DB=BE по свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, то треугольник DBE — равнобедренный.

Окружность, касающаяся сторон равнобедренного треугольника

Значит, \angle BDE=\angle BED. Четырехугольник DACE вписан в окружность, поэтому \angle ACE+\angle ADE=180^\circ, откуда \angle ACB=180^{\circ}-\angle ADE=\angle BDE. Аналогично, \angle BAC=\angle DEB. Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный и AB=BC.

б) Пусть длины высот треугольника ABC, опущенных из точек A и B соответственно, равны h_{a} и h_{b}.

Найдём h_b= \sqrt{AB^2-\left (\frac{AC}{2} \right )^2}= \sqrt{10^2-2^2}= 4\sqrt{6}. Площадь треугольника ABC равна \frac{1}{2}AC \cdot h_b=\frac{1}{2}BC \cdot h_a. Отсюда h_a=\frac{AC \cdot h_b}{BC}=\frac{4 \cdot 4\sqrt{6}}{10}=\frac{8\sqrt{6}}{5}.

Ответ

б) \frac{8\sqrt{6}}{5}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №998

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

В окружность с центром O вписан остроугольный треугольник ABC, в котором проведена медиана AF, причём \angle FAC=\angle OCA.

а) Докажите, что точка O лежит на медиане AF.

б) Найдите площадь треугольника AOC, если \angle BAC=60^\circ, AB=12\sqrt{3}.

Показать решение

Решение

а) Докажем, что точка O лежит на медиане AF.

Окружность описанная около треугольника с медианой

\bigtriangleup AOC — равнобедренный (AO=OC как радиусы), следовательно, \angle OAC=\angle OCA (как углы при основании равнобедренного треугольника). По условию \angle FAC=\angle OCA, значит, \angle FAC=\angle OAC.

\bigtriangleup ABC — остроугольный, значит, O лежит внутри треугольника, F и O лежат по одну сторону от AC. В этом случае из равенства \angle FAC и \angle OAC следует, что точка O лежит на медиане AF.

б) \bigtriangleup BOC — равнобедренный, так как OB=OC (как радиусы), OF — медиана, тогда OF — высота, отсюда AF — высота в \bigtriangleup ABC, которая является медианой, значит, \bigtriangleup ABC — равнобедренный и AB=AC. По условию \angle BAC=60^\circ,  \angle ABC=\angle BCA=60^\circ,  BC=AB.

\bigtriangleup ABC — равносторонний, AF=AB \sin 60^\circ=\frac{AB\sqrt{3}}{2}; O — центр описанной и вписанной окружностей. Тогда OK=OF, OF= \frac{1}{3}AF= \frac{1}{3} \cdot \frac{AB\sqrt{3}}{2}= \frac{AB\sqrt{3}}{6}= \frac{12 \cdot 3}{6}=6.

S_{AOC}=\frac{1}{2}AC \cdot OK=6\sqrt{3} \cdot 6=36\sqrt{3}.

Ответ

36\sqrt{3}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №997

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

Окружность, вписанная в остроугольный треугольник ABC, касается сторон AB и AC в точках E и F.

а) Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник AEF, лежит на окружности, вписанной в треугольник ABC.

б) Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если AB=11, AC=14, BK=3,08, где K — точка пересечения стороны BC и биссектрисы, проведённой из вершины A.

Показать решение

Решение

а) Пусть точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC. O лежит на биссектрисе AK.

Две окружности вписанные в треугольник ABC

Биссектриса AK пересекает дугу EF в точке P, а отрезок EF — в точке D. AE=AF как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Отсюда, \bigtriangleup EAF — равнобедренный, значит, биссектриса AD — медиана и высота. \bigtriangleup PDE=\bigtriangleup PDF по двум катетам (ED=DF, PD — общая сторона). Из равенства треугольников следует PE=PF, а так как равные хорды стягивают равные дуги, то \smile PE=\smile PF.

Докажем, что P — центр вписанной окружности треугольника EAF.

\angle AFP=\frac{1}{2} \smile PF как угол между касательной AF и хордой PF.

\angle EFP=\frac{1}{2} \smile PE как вписанный. Так как \smile PF=\smile PE, то \angle AFP=\angle EFP, значит, FP — биссектриса угла AFE.

Таким образом, P — точка пересечения биссектрис AD и FP треугольника AEF, следовательно, P — центр вписанной окружности.

б) По условию AK — биссектриса \bigtriangleup ABC, проведённая из вершины A. По свойству биссектрисы имеем \frac{BK}{AB}=\frac{CK}{AC},

CK=\frac{BK \cdot AC}{AB}=\frac{3,08 \cdot 14}{11}=3,92.

BC=BK+KC=3,08+3,92=7.

Пусть O — центр вписанной окружности в \bigtriangleup ABC, r — радиус этой окружности, — полупериметр \bigtriangleup ABC.

p= \frac{AB+BC+AC}{2}= \frac{11+7+14}{2}= 16.

По формуле Герона S_{ABC}= \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}= \sqrt{16 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 2}= 12\sqrt{10},

r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{12\sqrt{10}}{16}=\frac{3\sqrt{10}}{4}.

Расстояние между центрами окружностей OP=r=\frac{3\sqrt{10}}{4}.

Ответ

\frac{3\sqrt{10}}{4}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №961

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

В треугольнике ABC с прямым углом C MN — средняя линия, параллельная стороне AC. Биссектриса угла A пересекает луч MN в точке K.

а) Докажите, что \bigtriangleup BKC \sim \bigtriangleup AMK.

б) Найдите отношение S_{BKC}:S_{AMK}, если \cos \angle BAC=0,6.

Показать решение

Решение

а) В треугольнике ABC AK — биссектриса, поэтому \angle KAC=\angle AKM как накрест лежащие при MN \parallel AC и секущей AK, \angle KAM= \angle KAC =\angle AKM. Поэтому треугольник AMK — равнобедренный.

Окружность, описанная около треугольника со средней линией и биссектрисой

MA=MB=MK, значит, точка M — центр окружности, описанной около треугольника ABC и проходящей через точку K. MN — средняя линия треугольника ABC. MN \parallel AC, AC \perp BC. Отсюда MN \perp BC, значит, прямоугольные треугольники BNK и CNK равны по двум катетам, поэтому BK=CK и \angle KCB=\angle KBC. Равнобедренные треугольники BKC и AMK имеют равные углы при основаниях. \angle MAK=\angle BAK=\angle BCK, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, они подобны по первому признаку подобия.

б) По теореме об отношении площадей подобных треугольников \frac{S_{BKC}}{S_{AMK}}=k^2, где k — коэффициент подобия, k=\frac{BC}{AK}.

Из \bigtriangleup ABC, BC= AB \cdot \sin A= 2r \cdot \sqrt{1-0,36}= 1,6r, где r — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Из треугольника AMK по теореме косинусов AK^2=AM^2+MK^2- 2 \cdot AM \cdot MK \cdot \cos \angle AMK.

AK^2= r^2+r^2-2 \cdot r^2 \cdot \cos(180 ^{\circ}-\angle BMK)= 2r^2+2r^2 \cdot \cos \angle BMK.

\angle BMK= \angle BAC как соответственные при MN \parallel AC и секущей AB, значит, \cos \angle BMK=0,6.

AK=\sqrt{2r^2+2r^2 \cdot 0,6} =\sqrt{3,2r^2}, k =\frac{1,6r}{\sqrt{3,2r^2}}=\frac{1,6}{\sqrt{3,2}}.

k^2=\frac{2,56}{3,2}=\frac{256}{320}=\frac{4}{5}.

\frac{S_{BKC}}{S_{AMK}}=4:5.

Ответ

4:5

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №236

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

Равнобедренный треугольник ABC имеет стороны AB=10, AC=BC=13. В каждый угол этого треугольника вписана окружность единичного радиуса. Центрами этих окружностей являются точки O_1, O_2, O_3.

а) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC;

б) Найдите площадь треугольника O_1O_2O_3.

Показать решение

Решение

Равнобедренный треугольник ABC с вписанными в каждый угол окружностями

а) Высоту CH треугольника ABC можно найти по теореме Пифагора, она равна 12.

Тогда площадь S треугольника ABC равна 60, периметр P равен 36, радиус вписанной окружности равен r=\frac{2S}{P}=\frac{2 \cdot 60}{36}=\frac{10}{3}.

б) Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, тогда OH=\frac{10}{3}. O и O_{1} лежат на биссектрисе \angle A.

Отрезки O_{1}M и O_{2}N — радиусы, проведенные в точки касания окружностей со стороной AB. OM \perp AB, \: ON \perp AB.

Треугольники AOH и AO_{1}M подобны по двум углам, поэтому их стороны пропорциональны:

\frac{OH}{O_{1}M}=\frac{AH}{AM}; \: \frac{10}{3}=\frac{5}{AM}; \: AM=1,5.

O_{1}O_{2}=MN=10-2 \cdot 1,5=7.

Треугольники ABC и O_{1}O_{2}O_{3} подобны, потому что их соответственные стороны параллельны. Коэффициент подобия k= \frac{AB}{O_{1}O_{2}}=\frac{10}{7}, поэтому площадь S_{O_{1}O_{2}O_{3}}=S_{ABC} : k^{2}=60 \cdot \frac{49}{100}=29,4

Ответ

а) \frac{10}{3};\: б) 29,4

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.