Задания по теме «Описанная окружность»

Открытый банк заданий по теме описанная окружность. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №897

Тип задания: 6
Тема: Описанная окружность

Условие

В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 75^{\circ},  84^{\circ},  51^{\circ},  150^{\circ}. Найдите угол B этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник вписанный в окружность

Показать решение

Решение

Угол B четырёхугольника ABCD описается на дугу AC, которая равна сумме дуг AD и DC. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он описается.

\angle B= (\smile AB+\smile DC):2= (51^{\circ}+150^{\circ}):2= 100,5^{\circ}.

Ответ

100,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №292

Тип задания: 6
Тема: Описанная окружность

Условие

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Угол внутри окружности на квадратной решетке

Показать решение

Решение

Дуга AC составляет \frac14 дуги окружности и равна 90^{\circ}.

\angle ABC = \frac12 \smile AC = 45^{\circ}.

Ответ

45
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №291

Тип задания: 6
Тема: Описанная окружность

Условие

Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиусом 4, равен 30^{\circ}. Найдите сторону AB этого треугольника.

Треугольник вписанный в окружность

Показать решение

Решение

Угол B треугольника ABC вписан в окружность и опирается на дугу в 180^{\circ}. Угол B равен половине дуги, то есть 90^{\circ}. Поэтому треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом B.

AC — гипотенуза, AC=2R=2\cdot4=8.

\frac{AB}{AC}=\sin\angle C, \frac{AB}{8}=\sin30^{\circ}=\frac12, AB=8\cdot\frac12=4.

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №54

Тип задания: 6
Тема: Описанная окружность

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 116^{\circ}, угол CAD равен 72^{\circ}. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Четырехугольник ABCD вписанный в окружность

Показать решение

Решение

Угол ABD можно найти, используя градусную меру дуги AD, на которую он опирается. Градусная мера дуги AD равна разности значений градусных мер дуг AC, содержащей точку D, и CD. Найдем эти значения:

Известно, что градусная мера дуги, на которую опирается угол в два раза больше значения самого угла.

Отсюда градусная мера дуги , содержащая точку D, равна:

\cup AC=2\cdot \angle ABC=2\cdot 116^{\circ}=232^{\circ}

Градусная мера дуги CD равна:

\cup CD=2\cdot \angle CAD=2\cdot 72^{\circ}=144^{\circ}

Тогда градусная мера дуги AD равна:

\cup AD=\cup AC-\cup CD=232^{\circ}-144^{\circ}=88^{\circ}

Искомый угол ABD равен:

\angle ABD=88^{\circ}:2=44^{\circ}

Ответ

44

Задание №50

Тип задания: 6
Тема: Описанная окружность

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82^{\circ}, угол ABD равен 47^{\circ}. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Четырехугольник ABCD вписанный в окружность

Показать решение

Решение

Угол CAD можно найти, используя градусную меру дуги CD, на которую он опирается. Градусная мера дуги CD равна разности значений градусных мер дуг AC и AD. Найдем эти значения:

Известно, что градусная мера дуги, на которую опирается угол в два раза больше значения самого угла.

Отсюда градусная мера дуги  равна:

\cup AC=2\cdot\angle ABC=2\cdot 82^{\circ}=164^{\circ}

Градусная мера дуги AD равна:

\cup AD=2\cdot\angle ABD=2\cdot 47^{\circ}=94^{\circ}

Тогда градусная мера дуги CD равна:

\cup CD=\cup AC - \cup AD = 164^{\circ}-94^{\circ}=70^{\circ}

Искомый угол CAD равен:

\angle CAD=70^{\circ}:2=35^{\circ}

Ответ

35

Задание №49

Тип задания: 6
Тема: Описанная окружность

Условие

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол A равен 84. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

Четырехугольник ABCD вписанный в окружность

Показать решение

Решение

Сумма противоположных углов четырехугольника вписанного в окружность равна 180^{\circ}, следовательно:

\angle C=180^{\circ}-84^{\circ}=96^{\circ}

Ответ

96