Задания по теме «Показательные функции»

Открытый банк заданий по теме показательные функции. Задания B12 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1109

Тип задания: 12
Тема: Показательные функции

Условие

Рассмотрите функцию y=4^{-23-10x-x^2} и найдите ее наибольшее значение.

Показать решение

Решение

Заметим, что -23-10x-x^2= -(x^2+10x+23)= -(x^2+2\cdot 5x+5^2-2)= -(x^2+2\cdot 5x+5^2)+2= -(x+5)^2+2 \leqslant 2.

Основание степени равно 4;\,4>1. Тогда 4^{-23-10x-x^2} \leqslant 4^2.

При x =-5 имеет место равенство 4^{-23-10\cdot (-5)-(-5)^2}= 4^{-(-5+5)^2 +2}= 4^2= 16.

Таким образом, наибольшее значение функции y=4^{-23-10x-x^2} равно 16.

Ответ

16
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1108

Тип задания: 12
Тема: Показательные функции

Условие

Рассмотрите функцию y=5^{x^2-8x+19} и найдите ее наименьшее значение.

Показать решение

Решение

Заметим, что x^2-8x+19= x^2-2\cdot4x+4^2+3= (x^2-2\cdot4x+4^2)+3= (x-4)^2+ 3 \geqslant 3.

Основание степени равно 5;\, 5 > 1. Тогда 5^{x^2-8x+19} \geqslant 5^3 = 125.

При x=4 имеет место равенство 5^{x^2-8x+19} = 5^{(x-4)^2+3} = 5^3.

Таким образом, наименьшее значение функции y = 5^{x^2-8x+19} равно 125.

Ответ

125
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.