Задания по теме «Практические задачи»

Открытый банк заданий по теме практические задачи. Задания C5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1219

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Из пункта A, расположенного на берегу реки, вверх против течения направились две моторные лодки. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость «быстрой» лодки на 3 км/ч больше скорости «медленной» лодки. Через некоторое время они повернули обратно, и «медленная» лодка пришла в пункт A раньше, чем «быстрая», на время не меньше, чем \frac1{15} того времени, которое лодки шли от начала движения до поворота.

Найдите наибольшее целое значение скорости «быстрой» лодки, если собственные скорости лодок больше скорости течения.

Показать решение

Решение

1. Пусть x км/ч — скорость «быстрой» лодки, тогда (x-3) км/ч — скорость «медленной» лодки. Обозначим через t время движения лодок от начала движения до поворота (в часах).

2. Найдём время, затраченное «быстрой» лодкой на весь путь. Так как эта лодка сначала шла t часов против течения, то она прошла расстояние (x-2)\cdot t км. На обратный путь уже по течению она затратила время \frac{(x-2)t}{x+2} часов.

3 Аналогично, согласно условию, медленная лодка шла против течения t часов со скоростью ((x-3)-2)=(x-5) км/ч и прошла расстояние (x-5)\cdot t км. При этом x-5>0.

На обратный путь эта лодка затратила время \frac{(x-5)\cdot t}{(x-3)+2}=\frac{(x-5)\cdot t}{x-1} часов, так как шла по течению.

4. Согласно условию время движения «быстрой» лодки не менее, чем на \frac1{15} t больше времени движения «медленной» лодки. Поэтому справедливо неравенство

\frac{(x-2)t}{x+2}-\frac{(x-5)t}{x-1} \geqslant \frac1{15} t, (t>0),

\frac{x-2}{x+2}-\frac{x-5}{x-1}-\frac1{15} \geqslant 0, (x+2>0, x-1>0)

15(x-2)(x-1)-15(x-5)(x+2)\,\,- (x+2)(x-1) \geqslant 0,

15x^2-45x+30-15x^2+45x+150\,\,- x^2-x+2 \geqslant 0,

-x^2-x+182 \geqslant 0,

x^2+x-182 \leqslant 0.

Решаем неравенство графически. Находим корни трёхчлена x^2+x-182.

x_{1,2}= \frac{-1\pm \sqrt {1+4\cdot 182}}2= \frac{-1\pm\sqrt {729}}2= \frac{-1\pm27}2 ,

x_1=-14, x_2=13.

Парабола

Ветви параболы y=x^2+x-182 направлены вверх, эскиз графика имеет вид, изображённый на рисунке.

Неравенство выполнено, если -14 \leqslant x \leqslant 13.

С учётом ограничения x>5 получим, что наибольшим целым значением x, удовлетворяющим неравенству будет x=13.

Ответ

13

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1218

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

10 января 2016 года Тамара взяла в банке «Максимум» 1,5 млн рублей в кредит. Порядок выплаты кредита следующий: 10 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает оставшийся долг на 1%), затем (сразу же после начисления процентов) Тамара переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тамара может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 250\,000 рублей?

Показать решение

Решение

Ясно, что за 6 месяцев Тамара не сможет выплатить долг, т.к. вернёт банку не более 250\,000\cdot 6=1\,500\,000 руб., а общий долг будет больше 1,5 млн, так как банк ещё начисляет проценты. Покажем, что Тамара выплатит весь долг за 7 месяцев.

Пусть все ежемесячные платежи, кроме, быть может, последнего, равны 250 тысяч рублей. Через месяц долг Тамары перед банком составит 1\,500\,000\cdot 1,01=1\,515\,000 руб. Затем Тамара выплатит 250\,000 и задолженность составит 1\,265\,000 руб. После этого банк начислит проценты, но 1% от оставшейся суммы будет уже меньше 15\,000 руб., а в дальнейшем будет становиться ещё меньше, так как сумма долга будет уменьшаться. Поэтому долг через 2 месяца будет менее 1\,280\,000 а после очередного платежа — менее 1\,030\,000. Аналогично через 3 месяца задолженность будет менее 1\,045\,000 руб., а после платежа — менее 795\,000 рублей. Через 4 месяца долг будет менее 810\,000 а после платежа — менее 560\,000. Через 5 месяцев долг будет менее 575\,000 а после платежа — менее 325\,000. Через 6 месяцев долг будет менее 340\,000 а после платежа — менее 90\,000 Значит, через 7 месяцев задолженность будет менее 105\,000 и Тамара своим последним платежом полностью расплатится с банком.

Ответ

7

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1217

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Брокер продавал акции на бирже, которая работает ежедневно. В первый день он продал 1 акцию по 999 рублей, во второй день продал 2 акции по 998 рублей, в третий день продал 3 акции по 997 рублей, и так далее до тех пор, когда в последний день он продал 999 акций по 1 рублю. В какой по счёту день его выручка была наибольшей и какую сумму денег брокер выручил в этот день?

Показать решение

Решение

Сумма денег, полученная брокером ежедневно, можно рассматривать как функцию S(n) от номера n дня. Это функция задаётся формулой S(n)=n(1000-n) или S(n)=-n^2+1000n, она квадратичная, принимает наибольшее значение при n=-\frac{1000}{2\cdot (-1)}=500. Значит, в 500-ый день выручка брокера была наибольшей и равна она S(500)= 500\cdot (1000-500)= 500\cdot 500= 250\,000 рублей.

Ответ

500-ый день, 250\,000 рублей.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1216

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Вкладчик положил две одинаковые суммы под r% годовых в банки «A» и «B». Через год условия по вкладу в банке «A» изменились и он понизил годовую ставку до 10% годовых, в то время как банк «B» оставил годовую ставку на прежнем уровне. Найдите, при каком наименьшем целом r вклад в банке «B» через 3 года будет по крайней мере на 20% больше, чем вклад в банке «A».

Показать решение

Решение

Пусть в каждый из двух банков была положена сумма S. Тогда через год в каждом из двух банков будет сумма S_1=S\cdot q, где q=1+\frac r{100}. Таким образом, начисление r% годовых соответствует умножению на коэффициент q. Тогда начисление 10% годовых соответствует умножению на коэффициент 1,1. Через 3 года на вкладе в банке «A» будет сумма S_3{(A)}=S\cdot q\cdot 1,1^2, а на вкладе в банке «B» — сумма S_3(B)=S\cdot q^{3}. По условию задачи должно выполняться, неравенство S_3(B) \geqslant S_3{(A)}\cdot 1,2,

S\cdot q^3 \geqslant S\cdot q\cdot 1,1^{2}\cdot 1,2,

q^2 \geqslant 1,21\cdot 1,2. Так как 100q — целое, то q>1,2,

q\geqslant 1,21,

1+\frac r{100} \geqslant 1,21,

r\geqslant 21.

Наименьшим целым r, удовлетворяющим неравенству, будет r=21.

Ответ

21

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1215

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Финансовый консультант даёт рекомендации клиенту по оптимальному инвестиционному портфолио. Клиент хочет вложить средства (не более 25\,000 долларов) в два наименования акций крупных предприятий A и B. Цены на акции предприятия A составляют 5 долларов за акцию, предприятия B — 3 доллара за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести 6\,000 акций обоих наименований. По оценке консультанта прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: предприятие A — 1,1 доллара на 1 акцию, предприятие B — 0,9 доллара на 1 акцию. Сколько акций каждого предприятия должен посоветовать купить консультант клиенту, чтобы прибыль от инвестиций была максимальной?

Показать решение

Решение

Пусть x — количество акций предприятия A, y — количество акций предприятия B.

Согласно условию задачи составим систему ограничений на переменные x и y:

\begin{cases} x+y=6000,\\ 5x+3y \leqslant 25\,000,\\ x \geqslant 1,\\ y \geqslant 1. \end{cases}

Прибыль от инвестиций составит f=1,1x+0,9y (долларов). Из уравнения системы выразим y=6000-x и подставим в выражение f=1,1x+0,9y и неравенство 5x+3y \leqslant 25\,000. Получим линейную возрастающую функцию натурального аргумента f(x)=0,2x+5400 при условии 1 \leqslant x \leqslant 3500. Наибольшее значение функции достигается при x=3500: f_{max}=0,2\cdot 3500+5400=6100. Тогда y=6000-3500=2500.

Ответ

Чтобы клиенту получить максимальную прибыль, необходимо приобрести 3\,500 акций предприятия A и 2\,500 акций предприятия B.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1214

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Иван положил в банк некоторую сумму денег на 4 года. Перед началом каждого года он выбирает одну из двух схем начисления прибыли в наступающем году: 1) к его счёту прибавляется 10% от находящейся на счёте суммы; 2) к его счёту прибавляется 5% от находящейся на счёте суммы и дополнительно 50 тысяч рублей. Известно, что если Иван будет оптимально выбирать схему начисления, то по прошествии 4 лет он сможет получить 417\,967 рублей прибыли. Найдите, сколько рублей положил на счёт Иван? Если возможны несколько вариантов ответов, найдите хотя бы один.

Показать решение

Решение

План решения.

Заметим, что в качестве единицы измерения удобнее (но не обязательно!) взять тысячу рублей, а не рубль, чтобы не иметь дела с большими числами.

1. Найдём, при какой величине текущей суммы выгоднее выбирать первый способ начисления прибыли, а при какой — второй. Определим, что, пока текущая сумма меньше 1000 тысяч рублей, выгоднее выбирать второй способ начисления прибыли, а когда она превысит 1000 тысяч, то первый. Если сумма равна 1000 тысяч, то схемы принесут одинаковую прибыль.

2. Попробуем решить задачу, предполагая, что сумма на счёте изначально не меньше 1000 тысяч. Получим противоречие.

3. Попробуем решить задачу, предполагая, что сумма на счёте изначально меньше 1000 тысяч, но после получения прибыли за первый год станет не меньше 1000 тысяч. Если получим противоречие, предположим, что сумма на счёте станет не меньше 1000 тысяч только после получения прибыли за второй год, и так далее, пока не получим подходящее решение.

Решение.

1. Пусть текущая сумма равна S тысяч рублей, S>0.

\left( 1+\frac{10}{100} \right) S\geqslant \left( 1+\frac5{100} \right) S+50,

x\geqslant 1000.

2. Пусть Иван положил в банк x тысяч рублей, x>0.

Если x \geqslant 1000, то максимальная прибыль равна 1,1^4\cdot x-x= 1,4641x-x= 0,4641x \geqslant 464,1, что противоречит условию (по условию максимальная прибыль равна 417,967 тысяч рублей).

3.1. Если x<1000, но 1,05x+50 \geqslant 1000, то максимальная прибыль равна (1,05x+50)\cdot 1,1^3-x= 0,39755x+66,55= 417,967, x=\frac{351,417}{0,39755}<900. Но тогда 1,05x+50<1,05\cdot 900+50<1000, что противоречит предположению.

3.2. 1,05x+50<1000 и (1,05x+50)\cdot 1,05+50 \geqslant 1000. В этом случае максимальная прибыль равна

((1,05x+50)\cdot 1,05+50)\cdot 1,1^2-x= 0,334025x+124,025.

Из уравнения 0,334025x+124,025=417,967 получим: x=880 (тысяч рублей).

Убедимся, что при этом значении x выполняются неравенства 1,05x+50<1000 и (1,05x+50)\cdot 1,05+50 \geqslant 1000.

Ответ

880\,000

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1213

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Иван Иванович взял 910\,000 рублей в кредит под 20% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Иван Иванович переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Иван Иванович выплатил долг тремя равными годовыми платежами?

Показать решение

Решение

Пусть искомый ежегодный платёж составляет x рублей, тогда в конце первого года

Иван Иванович будет должен 1,2\cdot 910\,000-x=1\,092\,000-x (рублей). Аналогично в конце второго года его долг составит 1,2(1\,092\,000-x)-x= 1\,310\,400-2,2x (рублей). В конце третьего года его долг составит 1,2(1\,310\,400-2,2x)-x= 1\,572\,480-3,64x.

По условию Иван Иванович выплатил долг тремя платежами, поэтому к концу третьего года долг составит 0 рублей, то есть 1\,572\,480-3,64x=0, x=\frac{1\,572\,480}{3,64}=432\,000 (рублей).

Итак, сумма ежегодного платежа равна 432\,000 рублей.

Ответ

432\,000 рублей.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1212

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Индивидуальному предпринимателю 15 марта был выдан кредит на приобретение оборудования. В нижеследующей таблице указан график его погашения. Текущий долг указывается в процентах:

Дата15.0315.0415.0515.0615.0715.0815.09
Текущий долг100%80%65%45%30%20%0%

В конце каждого месяца, начиная с марта, банк увеличивает текущий долг на 5%. После этого в первой половине последующего месяца вкладчик обязан внести в банк такую сумму, чтобы оставшийся долг стал равным указанному в таблице текущему долгу на 15 число этого месяца. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Показать решение

Решение

Обозначим через K сумму выданного кредита, а через x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 и x_6 — выплаты по кредиту в апреле, мае, июне, июле, августе и сентябре. Тогда по условию на конец марта текущий долг будет равен 1,05\cdot K. После уплаты суммы x_1 он станет равным 1,05\cdot K-x_1 и будет равен 80% от K, то есть 0,8\cdot K. Составляем первое уравнение: 1,05\cdot K-x_1=0,8\cdot K.

Далее этот текущий долг опять увеличивается на 5%, и опять уплачивается сумма x_2, после чего останется 65% от K. Получаем второе уравнение:

1,05\cdot 0,8\cdot K-x_2=0,65\cdot K.

Последующие уравнения будут иметь вид:

1,05\cdot 0,65\cdot K-x_3=0,45\cdot K;

1,05\cdot 0,45\cdot K-x_4=0,3\cdot K;

1,05\cdot 0,3\cdot K-x_5=0,2\cdot K;

1,05\cdot 0,2\cdot K-x_6=0.

Складывая полученные уравнения, имеем:

1,05K\,\cdot (1+0,8+0,65+0,45+0,3+0,2)\,\,- (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6)= K\cdot (0,8+0,65+0,45+0,3+0,2).

Отсюда x_1 +x_2 +x_3 +x_4 +x_5 +x_6= K\cdot (1,05+0,05\cdot (0,8+0,65+0,45+0,3+0,2))= K\cdot (1,05+0,05\cdot 2,4)= K\cdot (1,05+0,12)= K\cdot 1,17.

Получаем, что сумма всех выплат больше суммы кредита на 0,17K, то есть на 17% от K.

Ответ

17

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1211

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Часть денег от суммы 400 млн рублей размещена в банке под 12% годовых, а другая часть инвестирована в производство, причём через год эффективность вложения ожидается в размере 250% (то есть вложенная сумма x млн рублей оборачивается в капитал 2,5x млн рублей), затем отчисляются деньги на издержки, которые задаются квадратичной зависимостью 0,0022x^2 млн рублей. Разность между капиталом и издержками в производстве облагается налогом в 20%. Как распределить капитал между банком и производством, чтобы через год получить общую максимальную прибыль от размещения денег в банк и вложения денег в производство? Сколько млн рублей составит эта прибыль?

Показать решение

Решение

Пусть x млн рублей инвестировано в производство, тогда в банке размещено (400-x) млн рублей.

Деньги в банке размещены под 12% годовых, поэтому через год в банке станет 1,12(400-x) млн рублей.

По условию через год эффективность вложения в производство ожидается в размере 250%, то есть вложенные x млн рублей превратятся в 2,5x млн рублей. Теперь от 2,5x нужно вычесть деньги на издержки, которые задаются квадратичной зависимостью: (2,5x-0,0022x^2 ) млн рублей, после чего нужно заплатить налог в 20% от этой суммы, поэтому останется 80% этой суммы, то есть 0,8\cdot (2,5x-0,0022x^2 ) млн рублей.

Рассмотрим функцию прибыли

f(x)= 1,12(400-x)\,\,+ 0,8\cdot (2,5x-0,0022x^2 )-400,

f(x)= 448-1,12x+2x-0,8\cdot 0,0022x^2-400,

f(x)=-0,8\cdot 0,0022x^2+0,88x+48.

Это квадратичная функция, наибольшее значение она принимает в точке x= \frac{-0,88}{2\cdot (-0,8\cdot 0,0022)} = \frac{88000}{2\cdot 8\cdot 22}= 250.

f(250)= -0,8\cdot 0,0022\cdot 250^2+0,88\cdot 250+48= -110+220+48= 158 (млн рублей).

Итак, прибыль составит 158 млн рублей.

Ответ

158

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1210

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Вклад планируется положить на три года, он составляет целое число десятков тысяч рублей. В конце каждого года вклад возрастает на 10% в сравнении с его размером в начале года. Известно, что, в начале второго и третьего годов, вклад будет пополняться по 30\,000 рублей. Определите наибольший размер первоначального вклада, при котором через три года он будет меньше 96\,000 рублей.

Показать решение

Решение

Составим математическую модель задачи. Увеличение вклада на 10% означает умножение начальной суммы на 1,1.

Пусть первоначальный вклад равен P десятков тысяч рублей. Тогда в конце первого года вклад составил 1,1P+3, а в начале второго года (1,1P+3)\cdot 1,1 десятков тысяч рублей. В начале третьего года —  (1,1P+3)\cdot 1,1+3, а в конце третьего года —

((1,1P+3)\cdot 1,1+3)\cdot 1,1 десятков тысяч рублей.

По условию нужно найти наибольшее целое число P такое, чтобы через три года вклад был меньше 9,6 десятков тысяч рублей, то есть было выполнено неравенство

((1,1P+3)\cdot 1,1+3)\cdot 1,1<9,6.

Решим это неравенство и найдём наибольшее целое решение этого неравенства.

(1,1^2 P+3\cdot 1,1+3)\cdot 1,1<9,6,

1,1^3 P+3\cdot 1,1^2 +3\cdot 1,1<9,6,

1,1^3 P<2,67.

P<\frac{2,67}{1,331} , P<\frac{2670}{1331} , P<\frac8{1331}.

Наибольшее целое решение этого неравенства — число 2. Значит, размер первоначального вклада составляет 20 000 рублей.

Ответ

20\,000

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.