Задания по теме «Применение производной к исследованию функций и построению графиков»

Открытый банк заданий по теме применение производной к исследованию функций и построению графиков. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1163

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

График y=f'(x)-производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10)

Показать решение

Решение

Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f'(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1162

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].

График y=f'(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7)

Показать решение

Решение

Из графика видно, что производная f'(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.

Ответ

1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1161

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

График функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8)

Показать решение

Решение

Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5.

Ответ

5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1159

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

График функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс

Показать решение

Решение

Проводим касательные к графику функции в точках с указанными абсциссами. Определяем, под каким углом они наклонены к положительному направлению оси Ox. Как известно, значение тангенса указанного угла это и есть значение производной в указанных точках.

В точках -1 и 4 касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной отрицательно. Учитывая, что в точке x=-6 касательная наклонена под меньшим тупым углом (ближе к вертикальной прямой), значение производной в этой точке наименьшее.

Ответ

-6
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1154

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

График у = f'(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 4)

Показать решение

Решение

Как известно, функция f(x) возрастает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f'(x) больше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-9; -8); (-5; -1); (1; 4).

Длина наибольшего из них (-5; -1), равна 4.

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1153

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-4; 3].

График y=f(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7)

Показать решение

Решение

Из графика видно, что производная f'(x) функции f(x) меняет знак с минуса на плюс (именно в таких точках будет минимум) ровно в одной точке x=2 из промежутка [-4; 3]. Поэтому на промежутке [-4; 3] ровно одна точка минимума.

Ответ

1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1150

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -5, -4, -1, 1 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

График функции y=f(x) и с точками на на оси абсцисс -5, -4, -1, 1

Показать решение

Решение

Проводим касательные к графику функции в точках с указанными абсциссами. Определяем, под каким углом они наклонены к положительному направлению оси Ox. Как известно, значение тангенса указанного угла это и есть значение производной в указанных точках.

В точках -4 и -1 касательные наклонены под тупым углом, поэтому в этих точках значение производной отрицательно. В точках -5 и 1 касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной положительно.

Учитывая, что касательная, проведённая к графику функции в точке x=1, образует больший угол с положительным направлением оси Ox, то значение производной в этой точке наибольшее.

Ответ

1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1143

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-7; 5). В какой точке отрезка [-6; -2] функция f(x) принимает наименьшее значение?

График y= f'(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (-7; 5)

Показать решение

Решение

Из графика видно, что производная f'(x) функции f(x) больше нуля во всех точках промежутка [-6; -2]. Значит, на этом промежутке функция f(x) возрастает. Поэтому наименьшее значение функции будет на левом конце промежутка, то есть в точке -6.

Ответ

-6
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1142

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

График функции y=f(x), определенной на интервале (-5; 7)

Показать решение

Решение

Производная отрицательна в тех точках промежутков, на которых функция убывает. Рассматривая график, находим шесть таких точек с целочисленными абсциссами: -3; -2; 1; 2; 5; 6.

Ответ

6
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1140

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и семь точек на оси абсцисс: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

График функции у=f(x) с семью точками оси абсцисс

Показать решение

Решение

Производная отрицательна в тех точках, которые принадлежат промежуткам убывания функции, если только касательные в них не горизонтальны.

График функции у=f(x) с выделенными точками в которых производная отрицательна

Точками, удовлетворяющими сказанному, будут: x_1, x_4, x_5, x_6. Их оказалось 4.

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.