Задания по теме «Призма»

Открытый банк заданий по теме призма. Задания B8 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1084

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 стороны основания равны 4, а боковые рёбра равны 10. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC, A_1B_1 и A_1C_1.

Правильная треугольная призма АВСА_1В_1С_1

Показать решение

Решение

Рассмотрим следующий рисунок.

Правильная треугольная призма АВСА_1В_1С_1 с сечением

Отрезок MN является средней линией треугольника A_1B_1C_1, поэтому MN = \frac12 B_1C_1=2. Аналогично, KL=\frac12BC=2. Кроме того, MK = NL = 10. Отсюда следует, что четырёхугольник MNLK является параллелограммом. Так как MK\parallel AA_1, то MK\perp ABC и MK\perp KL. Следовательно, четырёхугольник MNLK является прямоугольником. S_{MNLK} = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Ответ

20
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1082

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Объём правильной четырёхугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 равен 24. Точка K — середина ребра CC_1. Найдите объём пирамиды KBCD.

Правильная четырёхугольная призма ABCDA_1B_1C_1D_1 с точкой на середине ребра CC_1

Показать решение

Решение

Согласно условию, KC является высотой пирамиды KBCD. CC_1 является высотой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1.

Так как K является серединой CC_1, то KC=\frac12CC_1. Пусть CC_1=H, тогдаKC=\frac12H. Заметим также, что S_{BCD}=\frac12S_{ABCD}. Тогда, V_{KBCD}= \frac13S_{BCD}\cdot\frac{H}{2}= \frac13\cdot\frac12S_{ABCD}\cdot\frac{H}{2}= \frac{1}{12}\cdot S_{ABCD}\cdot H= \frac{1}{12}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}. Следовательно, V_{KBCD}=\frac{1}{12}\cdot24=2.

Ответ

2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1077

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 6, а высота — 8.

Правильная шестиугольная призма

Показать решение

Решение

Площадь боковой поверхности призмы находим по формуле Sбок. = Pосн. · h = 6a\cdot h, где Pосн. и h — соответственно периметр основания и высота призмы, равная 8, и a — сторона правильного шестиугольника, равная 6. Следовательно, Sбок. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Ответ

288
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1076

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 40 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в два раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

правильная треугольная призма с водой

Показать решение

Решение

Пусть a — сторона основания первого сосуда, тогда 2a — сторона основания второго сосуда. По условию объём жидкости V в первом и втором сосуде один и тот же. Обозначим через H уровень, на который поднялась жидкость во втором сосуде. Тогда V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^{\circ}\cdot40= \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot40, и, V=\frac{(2a)^2\sqrt3}{4}\cdot H. Отсюда \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot40=\frac{(2a)^2\sqrt3}{4}\cdot H, 40=4H, H=10.

Ответ

10
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №916

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все рёбра равны 2. Найдите расстояние между точками A и E_1.

Показать решение

Решение

Треугольник AEE_1 — прямоугольный, так как ребро EE_1 перпендикулярно плоскости основания призмы, прямым углом будет угол AEE_1.

Правильная шестиугольная призма

Тогда по теореме Пифагора AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Найдём AE из треугольника AFE по теореме косинусов. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120^{\circ}. Тогда AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^{\circ}= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left ( -\frac12 \right ).

Отсюда, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №912

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 4\sqrt5 и 8, и боковым ребром, равным 5.

Прямая призма, в основании которой лежит ромб

Показать решение

Решение

Площадь боковой поверхности прямой призмы находим по формуле Sбок. = Pосн. · h = 4a\cdot h, где Pосн. и h соответственно периметр основания и высота призмы, равная 5, и a — сторона ромба. Найдём сторону ромба, пользуясь тем, что диагонали ромба ABCD взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Ромб ABCD с диагоналями

Из треугольника BOC по теореме Пифагора находим BC^2=BO^2+OC^2= \left ( \frac82 \right )^2+\left ( \frac{4\sqrt5}{2} \right)^2= 16+20=36, BC=6.

Следовательно, Sбок. = 4\cdot6\cdot5=120.

Ответ

120
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №313

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы содержится 357 см3 воды. При полном погружении детали в воду, уровень жидкости поднялся с отметки 14 см до отметки 18 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в кубических сантиметрах.

Сосуд имеющем форму правильной треугольной призмы с водой

Показать решение

Решение

Пусть V_B — объем воды в призме, V_D — искомый объем детали.

По условию V_B=14S, V_B+V_D=18S, где S — площадь основания призмы.

Так как V_B=14S=357, то S=\frac{357}{14}=\frac{51}{2} (см3).

Тогда V_D= (V_B+V_D)-V_B= 18S-14S= 4S= 4\cdot\frac{51}{2}= 2\cdot51= 102 (см3).

Ответ

102
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №310

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

Треугольная призма содержит плоскость, проведенную параллельно ее боковому ребру через среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной плоскостью призмы, если объем исходной призмы равен 36.

Треугольная призма с плоскостью, параллельной боковому ребру

Показать решение

Решение

Плоскость, параллельная боковому ребру, проходит через среднюю линию основания, значит, площадь основания отвеченной призмы уменьшилась в 2^2 раза по сравнению с площадью основания заданной призмы (средняя линия в 2 раза меньше стороны, которой она параллельна). Высота отсеченной призмы равна высоте заданной призмы.

Следовательно, объем отсеченной призмы уменьшился в 4 раза и стал равным 36:4=9.

Ответ

9
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №109

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 площадь основания равна 9, а боковое ребро равно 7. Найдите объем многогранника ABCB_1C_1.

Правильная треугольная призма

Показать решение

Решение

Объем многогранника ABCB_1C_1 мы можем найти из разности объема пирамиды AA_1B_1C_1 от общего объема призмы.

Формула объема пирамиды имеет вид: V=\frac13Sh

Формула объема призмы имеет вид: V=Sh

где S – площадь основания, а h – высота пирамиды

Площадь основания нам известна, поэтому объем пирамиды AA_1B_1C_1 равен \frac13\cdot 9\cdot 7 = 21

Объем призмы равен: 9·7 = 63

Значит объем многогранника ABCB_1C_1 равен 63 − 21 = 42

Ответ

42

Задание №84

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В основании треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 провели среднюю линию MN, из которой, параллельно боковому ребру, подняли плоскость MNM_1N_1. Определите площадь боковой поверхности исходной призмы BCB_1C_1, если площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы BNN_1B_1 составляет 79 см2. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Треугольная призма

Показать решение

Решение

Боковыми поверхностями и сечением треугольной призмы являются прямоугольники. Искомая площадь боковой поверхности равна произведению длины основания на высоту:

S_{BCB_1C_1} = BC \cdot BB_1

Площадь боковой поверхности отсеченной призмы BNB_1N_1 вычисляется как произведение высоты призмы BB_1 и длины ребра BN.

S_{BNB_1N_1} = BN \cdot BB_1

Боковая поверхность и сечение треугольной призмы

Т.к. MN – средняя линия треугольника ABC, точка N делит прямую BC пополам (BN = NC), и, следовательно, BC = 2 · BN. Получаем:

S_{BCB_1C_1} = BC \cdot BB_1 = 2 \cdot BN \cdot BB_1 = 2 \cdot S_{BNB_1N_1} = 2 \cdot 79 = 158 см2

Ответ

158