Задания по теме «Рациональные неравенства»

Открытый банк заданий по теме рациональные неравенства. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1198

Тип задания: 15
Тема: Рациональные неравенства

Условие

Для x\geqslant 0 решите систему неравенств

\begin{cases} x^4-3x^3-3x^2+5x+12\geqslant 0,\\ x^4-4x^3+x^2+4x+6\leqslant 0. \end{cases}

Показать решение

Решение

1. Заметим, что x=0 решением системы не является, так как второе неравенство системы при x=0 не является верным (6 \leqslant 0). Пусть x>0.

Вычитая из первого неравенства второе, получаем

x^3-4x^2+x+6 \geqslant 0.

А вычитая из второго неравенства системы последнее неравенство, получаем

x^4-5x^3+5x^2+3x \leqslant 0,

x(x^3-5x^2+5x+3) \leqslant 0.

Так как x>0, то из последнего неравенства получаем:

x^3-5x^2+5x+3 \leqslant 0.

Таким образом система неравенств

\begin{cases} x^3-4x^2+x+6 \geqslant 0, \\ x^3-5x^2+5x+3 \leqslant 0 \end{cases}

является следствием исходной.

Вычитая из первого неравенства последней системы второе, умноженное на 2, и деля полученное неравенство на -x (причём снова обращаем внимание на известное нам ограничение x>0), получаем x^2-6x+9 \leqslant 0.

Последнее неравенство (следствие исходной системы) имеет единственное решение x=3. Простой подстановкой убеждаемся, что x=3 является решением системы.

Ответ

3

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.