Задания по теме «Расстояние между прямыми»

Открытый банк заданий по теме расстояние между прямыми. Задания C2 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1182

Тип задания: 14
Тема: Расстояние между прямыми

Условие

В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC. Все боковые рёбра наклонены к основанию под одним и тем же углом.

а) Докажите, что AB\perp CD.

б) Найдите расстояние между прямыми AB и CD, если AB=8\sqrt 3, AD=5\sqrt 3.

Показать решение

Решение

а) Рассмотрим рисунок.

Пирамида ABCD в основании которой лежит правильный треугольник ABC

Так как все боковые рёбра наклонены под одним и тем же углом к основанию, то основание высоты пирамиды (на рисунке это точка ) является центром окружности, описанной около треугольника ABC. Но треугольник ABC — правильный, поэтому H является точкой пересечения высот (а значит, и медиан). Отсюда следует, что AB \perp CK.

По условию боковые рёбра пирамиды равны, поэтому треугольник ABD равнобедренный, DK является его медианой, значит, и высотой. Значит, AB \perp DK. Получаем, что AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости KDC, поэтому AB \perp KDC.

Следовательно, AB \perp CD.

б) Проведем в треугольнике KDC высоту KT.

Пирамида ABCD с высотой KT

Так как AB \perp KDC, то AB \perp KT. Значит, KT является общим перпендикуляром к прямым AB и CD, а длина отрезка KT является расстоянием между прямыми AB и CD.

В равностороннем треугольнике ABC высота KC=AC\cdot \cos 30^{\circ}=8\sqrt 3\cdot \frac{\sqrt 3}2=12, KH=\frac12KC=4. В треугольнике ADK,\, AK=\frac12AB=4\sqrt 3,

KD= \sqrt {AD^2-AK^2} = \sqrt {\left( 5\sqrt 3\right) ^2-\left( 4\sqrt 3\right) ^2}= 3\sqrt 3.

В прямоугольном треугольнике DHK

DH= \sqrt {KD^2-KH^2}= \sqrt {27-16}= \sqrt {11}.

2\cdot S_{KDC}=KC\cdot DH=KT\cdot DC.

KT=\frac{KC\cdot DH}{DC}=\frac{12\cdot \sqrt {11}}{5\sqrt 3}=\frac{4\sqrt {33}}5.

Ответ

\frac{4\sqrt {33}}5.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №987

Тип задания: 14
Тема: Расстояние между прямыми

Условие

В основании прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} лежит ромб ABCD с диагоналями AC=10 и BD=24.

а) Докажите, что прямые B_{1}D_{1} и AC_{1} перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми B_{1}D_{1} и AC_{1}, если известно, что боковое ребро призмы равно 20.

Показать решение

Решение

а) Ясно, что CC_{1} \perp A_{1}B_{1}C_{1}, так как ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} — прямая призма.

Прямая призма с диагоналями в основании

Тогда A_{1}C_{1} — проекция AC_{1} на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}. При этом B_{1}D_{1} \perp A_{1}C_{1} по свойству диагоналей ромба. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах B_{1}D_{1} \perp AC_{1}, что и требовалось доказать.

б) Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба A_{1}C_{1} и B_{1}D_{1}. В плоскости AA_{1}C_{1} проведем OK \perp AC_{1}, где точка K принадлежит AC_{1}. Но A_{1}C_{1} \perp B_{1}D_{1}, B_{1}D_{1} \perp AC_{1}, следовательно, B_{1}D_{1} \perp AA_{1}C_{1} по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Тогда B_{1}D_{1} перпендикулярна любой прямой в плоскости (AA_{1}C_{1}).

В частности, B_{1}D_{1} \perp OK. Значит, длина отрезка OK равна расстоянию между скрещивающимися прямыми AC_{1} и B_{1}D_{1}.

В треугольнике AA_{1}C_{1} проведём среднюю линию OS. Тогда OS=\frac{1}{2}AA_{1}=10 и OS \parallel AA_{1}, значит, OS \perp A_{1}C_{1} и \bigtriangleup OSC_{1} — прямоугольный. C_{1}O=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}=5, S_{SOC_{1}}=\frac{1}{2}SO \cdot OC_{1}=\frac{1}{2}C_{1}S \cdot OK. Отсюда OK= \frac{C_{1}O \cdot OS}{C_{1}S}= \frac{5 \cdot 10}{\sqrt{5^2+10^2}}= \frac{50}{5\sqrt{5}}= 2\sqrt{5}.

Ответ

2\sqrt{5}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №190

Тип задания: 14
Тема: Расстояние между прямыми

Условие

Треугольник MNP со сторонами MP=6\sqrt{3} и MN=NP лежит в основании прямой призмы MNPM_{1}N_{1}P_{1}. Точка K выбрана на ребре NN_{1} таким образом, что NK:N_{1}K=3:4. При этом угол между плоскостью MNP и плоскостью MKP составляет 60^{\circ}.

а) Докажите, что расстояние между прямыми MN и M_1P_1 равно боковому ребру призмы.

б) При условии KP=9, вычислите расстояние между прямыми MN и M_{1}P_{1}.

Показать решение

Решение

а) Прямая MN лежит в плоскости \left (MNN_{1} \right ), \left (M_{1}P_{1} \right ) и пересекает \left (MNN_{1} \right ) в точке M_{1}, тогда по признаку скрещивающихся прямых MN и M_{1}P_{1} — скрещивающиеся прямые.

прямая призма MNPM_1N_1P_1

Плоскости MNP и M_{1}N_{1}P_{1} параллельны как основания призмы. По условию, призма прямая, значит, каждое боковое ребро перпендикулярно основаниям, следовательно, является расстоянием между скрещивающимися прямыми MN и M_{1}P_{1}, что и требовалось доказать.

б) Проведем NH\perp MP, тогда NH — высота и медиана в равнобедренном \bigtriangleup MNP. KH — медиана \bigtriangleup MKP. NH — проекция KH на \left (MPN \right ) и NH\perp MP. Следовательно, KH\perp MP (по теореме о трех перпендикулярах).

\angle KHN — линейный угол двугранного угла KMPN, откуда \angle KHN = 60^{\circ}.

В \bigtriangleup KPH катет KH=\sqrt{KP^{2}-PH^{2}}= \sqrt{81-27}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}.

Из \bigtriangleup KNH катет KN = KH \cdot \sin 60^{\circ} = 3 \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}.

По условию NK : N_{1}K = 3:4, N_{1}K= \frac{4}{3}NK, N_{1}K=6\sqrt{2}.

NN_{1}=NK+N_{1}K=\frac{21\sqrt{2}}{2}.

Ответ

\frac{21\sqrt{2}}{2}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.