Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Расстояние от точки до плоскости»

Открытый банк заданий по теме расстояние от точки до плоскости. Задания C2 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №966

Тип задания: 14
Тема: Расстояние от точки до плоскости

Условие

В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 6\sqrt{3}, а высота пирамиды равна 8. На ребрах AB, AC и AD соответственно отмечены точки M, N и K, такие, что AM=AN=\frac{3\sqrt{3}}{2} и AK=\frac{5}{2}.

а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.

Показать решение

Решение

а) Плоскости MNK и DBC параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Докажем это. Рассмотрим прямые MN и KM плоскости MNK и прямые BC и DB плоскости DBC.

Правильная треугольная пирамида с внутренней плоскостью

В треугольнике AOD: \angle AOD = 90^\circ и по теореме Пифагора AD=\sqrt{DO^2 +AO^2}.

Найдём AO, используя то, что \bigtriangleup ABC правильный.

AO=\frac{2}{3}AO_1, где AO_1 — высота \bigtriangleup ABC, AO_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}, где a — сторона \bigtriangleup ABC.

AO_1 = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}=9, тогда AO=6, AD=\sqrt{8^2 + 6^2}=10.

1. Так как \frac{AK}{AD}=\frac{5}{2} : 10=\frac{1}{4}, \frac{AM}{AB}=\frac{3\sqrt{3}}{2} : 6\sqrt{3}=\frac{1}{4} и \angle DAB — общий, то \bigtriangleup AKM \sim ADB.

Из подобия следует, что \angle AKM = \angle ADB. Это соответственные углы при прямых KM и BD и секущей AD. Значит KM \parallel BD.

2. Так как \frac{AN}{AC}=\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 6 \sqrt{3}}=\frac{1}{4}, \frac{AM}{AB}=\frac{1}{4} и \angle CAB — общий, то \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.

Из подобия следует, что \angle ANM = \angle ACB. Эти углы соответственные при прямых MN и BC и секущей AC. Значит, MN \parallel BC.

Вывод: так как две пересекающиеся прямые KM и MN плоскости MNK соответственно параллельны двум пересекающимся прямым BD и BC плоскости DBC, то эти плоскости параллельны — MNK \parallel DBC.

б) Найдём расстояние от точки K до плоскости BDC.

Поскольку плоскость MNK параллельна плоскости DBC, то расстояние от точки K до плоскости DBC равно расстоянию от точки O_2 до плоскости DBC и оно равно длине отрезка O_2 H. Докажем это.

Проекция плоскости правильной треугольной пирамиды

BC \perp AO_1 и BC \perp DO_1 (как высоты треугольников ABC и DBC), значит, BC перпендикулярна плоскости ADO_1, и тогда BC перпендикулярна любой прямой этой плоскости, например, O_2 H. По построению O_2H\perp DO_1, значит, O_2H перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BCD, и тогда отрезок O_2 H перпендикулярен плоскости BCD и равен расстоянию от O_2 до плоскости BCD.

В треугольнике O_2HO_1:O_2H=O_{2}O_{1}\sin\angle HO_{1}O_{2}.

O_{2}O_{1}=AO_{1}-AO_{2}.\, \frac{AO_2}{AO_1}=\frac{1}{4}, AO_{2}=\frac{AO_1}{4}=\frac{9}{4}.

O_{2}O_{1}=9-\frac{9}{4}=\frac{27}{4}.

\sin \angle DO_{1}A= \frac{DO}{DO_{1}}= \frac{8}{\sqrt{64+3^2}}= \frac{8}{\sqrt{73}}.

O_2H=\frac{27}{4} \cdot \frac{8}{\sqrt{73}}=\frac{54}{\sqrt{73}}.

Ответ

\frac{54}{\sqrt{73}}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №227

Тип задания: 14
Тема: Расстояние от точки до плоскости

Условие

ABCDA_1B_1C_1D_1 — правильная четырехугольная призма.

а) Докажите, что плоскость BB_1D_1 \perp AD_1C.

б) Зная AB = 5 и AA_1 = 6 найдите расстояние от точки B_1 до плоскости AD_1C.

Показать решение

Решение

а) Так как данная призма правильная, то BB_1 \perp ABCD, отсюда BB_1 \perp AC. Поскольку ABCD — квадрат, то AC \perp BD. Таким образом, AC \perp BD и AC \perp BB_1. Так как прямые BD и BB_1 пересекаются, то, согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, AC \perp BB_1D_1D. Теперь по признаку перпендикулярности плоскостей AD_1C \perp BB_1D_1.

Правильная четырехугольная призма ABCDA_1B_1C_1D_1

б) Обозначим через О точку пересечения диагоналей AC и BD квадрата ABCD. Плоскости AD_1C и BB_1D_1 пересекаются по прямой OD_1. Пусть B_1H — перпендикуляр, проведенный в плоскости BB_1D_1 к прямой OD_1. Тогда B_1H \perp AD_1C. Пусть E=OD_1 \cap BB_1. Для подобных треугольников D_1B_1E и OBE (равенство соответствующих углов следует из условия BO \parallel B_1D_1) имеем \frac {B_1E}{BE}=\frac{B_1D_1}{BO}=\frac{2}1.

Значит, B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. Так как B_1D_1=5\sqrt{2}, то гипотенуза D_1E= \sqrt{B_1E^{2}+B_1D_1^{2}}= \sqrt{12^{2}+(5\sqrt{2})^{2}}= \sqrt{194}. Далее применяем метод площадей в треугольнике D_1B_1E для вычисления высоты B_1H, опущенной на гипотенузу D_1E:

S_{D_1B_1E}=\frac1{2}B_1E \cdot B_1D_1=\frac1{2}D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt{2}=\sqrt{194} \cdot B_1H;

B_1H=\frac{60\sqrt{2}}{\sqrt{194}}=\frac{60}{\sqrt{97}}=\frac{60\sqrt{97}}{97}.

Ответ

\frac{60\sqrt{97}}{97}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №220

Тип задания: 14
Тема: Расстояние от точки до плоскости

Условие

ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольный параллелепипед. Ребра AB=24, BC=7, BB_{1}=4.

а) Докажите, что расстояние от точек B и D до плоскости ACD_{1} одинаковы.

б) Найдите это расстояние.

Показать решение

Решение

а) Рассмотрим треугольную пирамиду D_1ACD.

Прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1 имеющий треугольную пирамиду D_1ACD

В данной пирамиде расстояние от точки D до плоскости основания ACD_1-DH — равно высоте пирамиды, проведенной из точки D, к основанию ACD_1.

V_{D_1ABC}=\frac1{3}S_{ACD_1} \cdot DH, из этого равенства получаем

DH=\frac{3V_{D_1ACD}}{S_{ACD_1}}.

Рассмотрим пирамиду D_1ABC. Расстояние от точки B до плоскости ACD_1 равно высоте, опущенной из вершины B к основанию ACD_1. Обозначим это расстояние BK. Тогда V_{D_1ABC}=\frac1{3}S_{ACD_1} \cdot BK, из этого получаем BK=\frac{3V_{D_1ABC}}{S_{ACD_1}}.\: Но V_{D_1ACD} = V_{D_1ABC}, так как, если считать в пирамидах основаниямиADC и ABC, то высота D_1D общая и S_{ADC}=S_{ABC} (\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABC по двум катетам). Значит, BK=DH.

б) Найдем объем пирамиды D_1ACD.

Высота D_1D=4.

S_{ACD}=\frac1{2}AD \cdot DC=\frac1{2} \cdot24 \cdot 7=84.

V=\frac1{3}S_{ACD} \cdot D_1D=\frac1{3} \cdot84 \cdot4=112.

Площадь грани ACD_1 равна \frac1{2}AC \cdot D_1P.

AD_1= \sqrt{AD^{2}+DD_1^{2}}= \sqrt{7^{2}+4^{2}}= \sqrt{65}, \: AC= \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}= \sqrt{24^{2}+7^{2}}= 25

Зная, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла, в треугольнике ADC имеем AD^{2}=AC \cdot AP, \: AP=\frac{AD^{2}}{AC}=\frac{7^{2}}{25}=\frac{49}{25}.

В прямоугольном треугольнике AD_1P по теореме Пифагора D_1P^{2}= AD_1^{2}-AP^{2}= 65-\left ( \frac{49}{25} \right )^{2}= \frac{38\:224}{25^{2}}, D_1P=\frac{4\sqrt{2\:389}}{25}.

S_{ACD_1}=\frac1{2} \cdot25 \cdot\frac{4\sqrt{2\:389}}{25}=2\sqrt{2\:389}.

DH=\frac{3V}{S_{ACD_1}}=\frac{3 \cdot112}{2\sqrt{2\:389}}=\frac{168}{\sqrt{2\:389}}.

Ответ

\frac{168}{\sqrt{2\:389}}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №205

Тип задания: 14
Тема: Расстояние от точки до плоскости

Условие

В правильном тетраэдре SABC на ребре AC взята точка F так, что AF:FC=2:1.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B, F и высоту грани BSC, проведенную к ребру SC.

б) Найдите расстояние от точки F до плоскости BSC, если ребро тетраэдра равно 12.

Показать решение

Решение

а) В треугольнике BSC проведем высоту BE. Соединим точки B, E и F. \bigtriangleup BEF — искомое сечение.

Тетраэдр BSC с сечением

б) 1) Изобразим тетраэдр так, как показано на рисунке ниже:

Тетраэдр BSC с сечением BEF, высотой и правильным треугольником

Пусть AO — высота правильного тетраэдра ABCS, AO\perp (BSC). Так как тетраэдр правильный то O — центр описанной окружности \bigtriangleup BCS, CO — ее радиус, CO=\frac{a\sqrt{3}}{3}, где a=12 — сторона правильного треугольника SBC, CO =4\sqrt{3}.

2) \bigtriangleup CAO — прямоугольный, \angle AOC=90^{\circ}. По теореме Пифагора AO=\sqrt{AC^2-CO^2}=\sqrt{144-48}=4\sqrt{6}.

3) Пусть FK\perp CO. Тогда FK \parallel AO, AO\perp (BSC), следовательно, FK\perp (BSC). Значит, FK — искомое расстояние.

4) Заметим, что \bigtriangleup FCK \sim \bigtriangleup AOC по двум углам (\angle FKC=\angle AOC=90^{\circ}, \angle C — общий), тогда \frac{FK}{AO}=\frac{FC}{AC}=\frac{FC}{FC+AF}. Учитывая, что по условию AF=2FC, получаем \ \frac{FK}{AO}=\frac{FC}{FC+2FC}=\frac{1}{3}, FK=\frac{AO}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}.

Ответ

\frac{4\sqrt{6}}{3}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

222