Задания по теме «Тригонометрические уравнения»

Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №979

Условие

а) Решите уравнение 2\cos^2 x-5 \sin\left ( x+\frac{3\pi}{2} \right )+2=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right ].

Показать решение

Решение

а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения

\cos \left ( x+\frac{\pi}{2}\right )=-\sin x:

2\cos^2 x+5\cos x+2=0.

Обозначим \cos x=t, -1 \leq t \leq 1, получим 2t^2+5t+2=0.

t_{1}=\frac{-5-3}{2 \cdot 2}=-2 — не удовлетворяет условию -1 \leq t \leq 1.

t_{2}=\frac{-5+3}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2}.

Вернёмся к исходной переменной:

\cos x=-\frac{1}{2},

x=\pm \left ( \pi - \frac{\pi}{3}\right )+2\pi n, n \in \mathbb Z,

x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие промежутку \left [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right ], найдём с помощью единичной окружности.

Корни промежутка на тригонометрической окружности

Получаем числа \frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}.

Ответ

а) \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №978

Условие

а) Решите уравнение \frac{\sin x+1}{1-\cos 2x}=\frac{\sin x+1}{1+ \cos \left ( \dfrac{\pi}{2}+x \right )}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [-\frac{3 \pi}{2};-\frac{\pi}{2} \right ].

Показать решение

Решение

а) Найдём ОДЗ уравнения: \cos 2x \neq 1, \cos \left ( \frac{\pi}{2}+x \right ) \neq -1.

Учитывая, что 1- \cos 2x=2 \sin^{2}x и \cos \left ( \frac{\pi}{2}+x \right )=-\sin x, получим уравнение

\frac{\sin x+1}{2 \sin^{2}x}-\frac{\sin x+1}{1-\sin x}=0,

(\sin x+1) \left ( \frac{1}{2 \sin^{2}x}-\frac{1}{1-\sin x}\right )=0.

На ОДЗ уравнение примет вид (\sin x+1)(1-\sin x-2\sin^{2}x)=0,

(\sin x+1)(2 \sin^{2}x+\sin x-1)=0.

Решим уравнение 2\sin^{2}x+\sin x-1=0 как квадратное относительно \sin x.

\sin x=-1, \sin x=\frac{1}{2}, тогда (\sin x+1)^{2} \left ( \sin x - \frac{1}{2}\right )=0.

1) \sin x=-1, x=-\frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb Z.

2) \sin x=\frac{1}{2}, x=\frac{\pi}{6}+2 \pi m, x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, m, n \in \mathbb Z.

Заметим, что корни уравнений \sin x=-1 и \sin x=\frac{1}{2} принадлежат ОДЗ, так как \sin^{2}x \neq 0 и 1-\sin x \neq 0.

б) Решим неравенства:

1) -\frac{3\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6}+2\pi m \leq -\frac{\pi}{2},

2) -\frac{3\pi}{2} \leq \frac{5\pi}{6}+2\pi n \leq - \frac{\pi}{2},

3) -\frac{3\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{2}+2\pi k \leq -\frac{\pi}{2}.

при m, n, k \in \mathbb Z. 

-\frac{3\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6}+2\pi m \leq -\frac{\pi}{2},

-\frac{3}{2} \leq \frac{1}{6}+2\pi m \leq -\frac{1}{2},

-\frac{5}{3} \leq 2m \leq -\frac{2}{3},

-\frac{5}{6} \leq m \leq -\frac{1}{3}.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left [-\frac{5}{6}; -\frac{1}{3} \right ].

-\frac{3\pi}{2} \leq \frac {5\pi}{6}+2\pi n \leq - \frac{\pi}{2},

-\frac{3}{2} \leq \frac{5}{6}+2n \leq -\frac{1}{2},

-\frac{7}{3} \leq 2n \leq -\frac{4}{3},

-\frac{7}{6} \leq n \leq -\frac{2}{3}.

Единственное целое число, принадлежащее этому промежутку, n=-1. Тогда x=\frac{5\pi}{6}-2\pi=-\frac{7\pi}{6}.

-\frac{3\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{2}+2\pi k \leq - \frac{\pi}{2},

-\frac{3}{2} \leq-\frac{1}{2} + 2k \leq-\frac{1}{2},

-1 \leq 2k \leq 0,

-\frac{1}{2} \leq k \leq 0.

Этому равенству удовлетворяет k=0, тогда x=-\frac{\pi}{2}.

Ответ

а) -\frac{\pi}{2}+2\pi k; \frac{\pi}{6}+2\pi m; \frac{5\pi}{6}+2\pi n, m, n, k \in \mathbb Z;

б) -\frac{7\pi}{6}; -\frac{\pi}{2}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №977

Условие

а) Решите уравнение \sin x(2 \sin x -1)+\sqrt{3} \sin x+\sin \frac{4 \pi}{3}=0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [ -\frac{\pi}{2}; \pi \right )

Показать решение

Решение

а) Решим уравнение \sin x(2 \sin x -1)+\sqrt{3} \sin x+\sin \frac{4 \pi}{3}=0

Так как \sin \frac{4 \pi}{3}= \sin \left ( \pi + \frac{\pi}{3} \right )= -\sin \frac{\pi}{3}= -\frac{\sqrt{3}}{2}, то уравнение примет вид \sin x(2 \sin x-1)+\sqrt{3} \sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}=0. Отсюда 2 \sin x\left ( \sin x-\frac{1}{2}\right )+\sqrt{3}\left ( \sin x-\frac{1}{2}\right )= 0; (2\sin x+\sqrt{3})\left (\sin x-\frac{1}{2} \right )=0.

Тогда \sin x=\frac{1}{2}; x=(-1)^{n} \frac{\pi}{6}+ \pi n или \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+ \pi n, где n \in \mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие промежутку \left [ -\frac{\pi}{2}; \pi \right ), найдем с помощью числовой окружностью: -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}

Корни промежутка на тригонометрической окружности

Ответ

а) (-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n; (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n, n \in \mathbb Z;

б) -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №976

Условие

а) Решите уравнение \frac{\cos 2 \pi x}{1+ctg \pi x}=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [ -2\frac{3}{7}; 1,5 \right ].

Показать решение

Решение

а) Данное уравнение равносильно системе \begin{cases} \cos 2\pi x=0,\\1+ctg \pi x \neq0.\end{cases}

\begin{cases}2\pi x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in\mathbb Z\\ctg \pi x\neq -1;\end{cases}

\begin{cases} x=\frac{1}{4}+\frac{n}{2}, n \in \mathbb Z \\ ctg \pi x \neq -1.\end{cases}

Если n=2m, то x=\frac{1}{4}+m, m \in \mathbb Z и ctg \pi x= ctg \left(\pi \left (\frac{1}{4}+m\right)\right )= ctg \left(\frac{\pi}{4}+\pi m\right )= ctg \frac{\pi}{4}=1.

Значит, числа \frac{1}{4}+m, m \in \mathbb Z являются решениями исходного уравнения. Если n=2m-1, то x=\frac{1}{4}+\frac{2m-1}{2}=-\frac{1}{4}+m, m \in \mathbb Z и ctg \pi x= ctg \left ( \pi \cdot \left ( -\frac{1}{4}+m \right )\right )= ctg \left ( -\frac{\pi}{4}+ \pi m\right )= ctg \left (-\frac{\pi}{4}\right )=1.

Следовательно, ни одно из чисел -\frac{1}{4}+m, m \in \mathbb Z не входит в в область допустимых значений переменной исходного уравнения.

Множество решений данного уравнения состоит из чисел \frac{1}{4}+m, m \in \mathbb Z.

б) Найдём корни в промежутке \left [-2\frac{3}{7}; 1,5 \right ].

-2\frac{3}{7} \leq \frac{1}{4}+m \leq 1,5;\,m \in \mathbb Z.

-2\frac{19}{28} \leq m \leq 1\frac{1}{4},\,m \in \mathbb Z. Отсюда находим m_{1}=-2 и x_{1}=-\frac{7}{4}; m_{2}=-1 и x_{2}=-\frac{3}{4}; m_{3}=0 и x_{3}=\frac{1}{4}; m_{4}=1 и x_{4}=\frac{5}{4}.

Ответ

а) \frac{1}{4}+m, m \in \mathbb Z;

б) -\frac{7}{4};\,-\frac{3}{4};\,\frac{1}{4};\,\frac{5}{4}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №975

Условие

а) Решите уравнение 3-2 \cos^{2}x+3 \sin (x- \pi)=0.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку \left [ \frac{7 \pi}{2}; \frac{11 \pi}{2}\right ).

Показать решение

Решение

а) Используя формулы приведения и основное тригонометрическое тождество, преобразуем уравнение так, чтобы в нём была только одна тригонометрическая функция с одинаковым аргументом. Сделав замену \sin x=t, получим квадратное уравнение, решив которое, вернёмся к переменной x.

3-2(1-\sin^{2}x)+3 \sin (x-\pi)=0,

2\sin^{2}x-3\sin x+1=0.

Пусть \sin x=t, тогда 2t^{2}-3t+1=0,

t_{1}=1,  t_{2}=\frac{1}{2}.

\sin x=1, тогда x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k, k \in \mathbb Z.

\sin x=\frac{1}{2}, тогда x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n, n \in \mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие промежутку \left [ \frac{7 \pi}{2}; \frac{11 \pi}{2}\right ), найдём с помощью тригонометрической окружности.

Корни промежутка на тригонометрической окружности

4\pi+\frac{\pi}{2}=\frac{9\pi}{2};

4\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{25\pi}{6};

4\pi+\frac{5\pi}{6}=\frac{29 \pi}{6}.

Ответ

а) \frac{\pi}{2}+2 \pi k, k \in \mathbb Z; (-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac{25\pi}{6}; \frac{9\pi}{2}; \frac{29 \pi}{6}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №974

Условие

а) Решите уравнение 8\sin x+4\cos^{2}x=7.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку \left [ -\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right ].

Показать решение

Решение

а) 8\sin x+4\cos^{2}x=7,

4(1-\sin^{2}x)+8\sin x -7 =0,

-4\sin^{2}x+8\sin x-3=0,

4\sin^{2}x-8\sin x+3=0.

Пусть \sin x=t, |t| \leq 1, уравнение примет вид 4t^{2}-8t+3=0,

решим его: t_{1,2}= \frac{8 \pm \sqrt{64-48}}{8}= \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8}= \frac{8 \pm 4}{8}= 1 \pm \frac{1}{2}.

t_{1}=\frac{1}{2} или t_{2}=\frac{3}{2}. t_{2} не удовлетворяет условию |t| \leq 1.

\sin x=\frac{1}{2}, x=(-1)^{n} \frac{\pi}{6}+\pi n, n \in \mathbb Z.

б) Найдём корни уравнения на отрезке \left [ -\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right ]

Корни отрезка на тригонометрической окружности

Это число \frac{5 \pi}{6}-2\pi=-\frac{7\pi}{6}.

Ответ

а) (-1)^{n} \frac{\pi}{6}+\pi n, n \in \mathbb Z;

б) -\frac{7\pi}{6}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №973

Условие

а) Решите уравнение \frac{\sin 2x}{\cos \left ( x+\dfrac{\pi}{2} \right )}=\sqrt{3}.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [\frac{5 \pi}{2};4\pi \right ).

Показать решение

Решение

а) Применим формулу синуса двойного аргумента \sin 2x=2\sin x \cos x и формулу приведения \cos \left ( \frac{\pi}{2}+x \right )=-\sin x.

Уравнение примет вид \frac{2 \sin x \cos x}{-\sin x}=\sqrt{3}.

Учитывая, что \sin x \neq 0, x \neq \pi k, k \in \mathbb Z, получим:

2 \cos x=-\sqrt{3},

\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2},

x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б) Отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку \left [\frac{5 \pi}{2};4\pi \right ), с помощью числовой окружности.

Корни отрезка на тригонометрической окружности

x=2\pi+\frac{5\pi}{6}=\frac{17\pi}{6},

x=4\pi-\frac{5\pi}{6}=\frac{19\pi}{6}.

Ответ

а) \pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac{17\pi}{6};\frac{19\pi}{6}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №972

Условие

а) Решите уравнение 9 \cdot 3^{2 \cos x}-10\sqrt{3} \cdot 3^{\cos x}+3=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [ \frac{3\pi}{2}; 4\pi\right ].

Показать решение

Решение

а) После замены t=3^{\cos x} исходное уравнение примет вид 9t^{2}-10\sqrt{3}t+3=0. Корни этого уравнения t=\sqrt{3}, t=\frac{\sqrt{3}}{9}, Возвращаясь к переменной x, получим:

\left[\!\!\begin{array}{l} 3^{\cos x}=\sqrt{3}, \\ 3^{\cos x}=\frac{\sqrt{3}}{9}; \end{array}\right.\, \left[\!\!\begin{array}{l} 3^{\cos x}=3^{\tfrac{1}{2}}, \\ 3^{\cos x}=3^{-\tfrac{3}{2}}; \end{array}\right.\, \left[\!\!\begin{array}{l} \cos x=\frac{1}{2}, \\ \cos x=-\frac{3}{2}. \end{array}\right.

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Решая первое уравнение, получим x= \pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb Z.

б) Запишем решение уравнения в виде x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb Z или x=\frac{\pi}{3}+2 \pi k, k \in \mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства \frac{3\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{3}+2 \pi n \leq 4\pi и \frac{3 \pi}{2} \leq \frac{\pi}{3}+2 \pi k \leq 4\pi.

Получим \frac{11}{12} \leq n \leq \frac{26}{12} и \frac{7}{12} \leq k \leq \frac{22}{12}.

Отсюда следует, что два целых значения n=1 и n=2 удовлетворяют неравенству \frac{11}{12} \leq n \leq \frac{26}{12}; k=1 — единственное целое k, удовлетворяющее неравенству \frac{7}{12} \leq k \leq \frac{22}{12}.

При n=1\enspace x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi \cdot 1=\frac{5\pi}{3}.

При n=2\enspace x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi \cdot 2=\frac{11\pi}{3}.

При k=1\enspace x=\frac{\pi}{3}+2 \pi \cdot 1=\frac{7\pi}{3}.

Итак, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3},\frac{11\pi}{3}  — корни уравнения, принадлежащие промежутку \left [ \frac{3\pi}{2}; 4\pi\right ].

Ответ

а) x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3},\frac{11\pi}{3}. 

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №965

Условие

а) Решите уравнение 2\log_{2}^{2}(2 \sin x)-3\log_{2}(2 \sin x)+1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [ \frac{3\pi}{2}; 3\pi\right ]

Показать решение

Решение

а) Решим уравнение 2\log_{2}^{2}(2 \sin x)-3\log_{2}(2 \sin x)+1=0.

Обозначим \log_{2}(2\sin x)=t и решим получившееся уравнение.

2t^{2}-3t+1=0, t=\frac{3 \pm 1}{4}, t_1=1, t_2=\frac{1}{2}.

\left[\!\!\begin{array}{l} \log_{2}(2 \sin x)=1, \\ \log_{2}(2 \sin x)=\frac{1}{2}; \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} 2 \sin x=2, \\ 2 \sin x=\sqrt{2}; \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} \sin x=1, \\ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}; \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \\x=(-1)^{k} \frac{\pi}{4}+\pi k; \end{array}\right. n,k \in \mathbb Z

б) Корни, принадлежащие отрезку \left [ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right], найдём с помощью числовой окружности: x_{1}=2 \pi + \frac{\pi}{4}=\frac{9 \pi}{4}; x_{2}=2 \pi + \frac{\pi}{2}=\frac{5 \pi} {2}; x_3=3 \pi - \frac{\pi}{4}=\frac{11 \pi} {4}.

Корни отрезка на тригонометрической окружности

Ответ

а) \frac{\pi}{2}+2\pi n;\,(-1)^{k} \frac{\pi}{4}+\pi k,\,n,k \in \mathbb Z;

б) \frac{9 \pi}{4};\,\frac{5 \pi}{2};\,\frac{11\pi}{4}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №958

Условие

а) Решите уравнение 3\sqrt{3}\cos \left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-3=2\sin^2 x.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2\pi;3\pi].

Показать решение

Решение

а) Запишем исходное уравнение в виде 2\sin^2 x-3\sqrt{3}\sin x+3=0.

Решая это уравнение как квадратное относительно \sin x, получим

(\sin x)_{1,2}= \frac{3\sqrt{3}\pm\sqrt{27-24}}{4}= \frac{3\sqrt{3}\pm\sqrt{3}}{4}.

Значит, (\sin x)_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}, откуда x=\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in \mathbb{Z} или x=\frac{2\pi}{3}+2\pi m, m \in \mathbb{Z}.

Уравнение (\sin x)_{2}=\sqrt{3} корней не имеет.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [2\pi; 3\pi].

Корни отрезка на тригонометрической окружности

Получим числа:

2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3};

3\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{8\pi}{3}.

Ответ

а) \frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}, \frac{2\pi}{3}+2\pi m, m \in \mathbb{Z};

б) \frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.