Задания по теме «Задачи на совместную работу»

Открытый банк заданий по теме задачи на совместную работу. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1103

Тип задания: 11
Тема: Задачи на совместную работу

Условие

Обе трубы наполняют бассейн за 6 часов, а первая труба — за 10 часов. За сколько часов наполнит бассейн вторая труба?

Показать решение

Решение

Объём бассейна примем за 1. Тогда за 1 час две трубы заполнят \frac16часть бассейна, первая труба за 1 час заполнит \frac{1}{10}часть бассейна. Значит, вторая труба за 1 час заполнит \frac16-\frac{1}{10}=\frac{1}{15}часть бассейна. Весь бассейн вторая труба заполнит за 1 : \frac{1}{15}=\frac{15}{1}=15часов.

Ответ

15
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1102

Тип задания: 11
Тема: Задачи на совместную работу

Условие

Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если ёмкость объёмом 420 литров она заполняет на 15 минут дольше, чем вторая труба заполняет ёмкость объёмом 280 литров?

Показать решение

Решение

Пусть первая труба пропускает x литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает за одну минуту x + 2 литра. Первая труба заполняет ёмкость объёмом 420 литров за время \frac{420}{x} мин, а вторая труба заполняет ёмкость объёмом 280 литров за \frac{280}{x+2} мин, что различается на 15 минут.

Составим и решим уравнение:

\frac{420}{x}-\frac{280}{x+2}=15,

\frac{84}{x}-\frac{56}{x+2}=3,

84(x+2)-56x=3x(x+2),

28x+168=3x^2+6x,

3x^2-22x-168=0,

x_1=12, x_2=-\frac{14}{3}.

Отрицательное значение не удовлетворяет условию. Первая труба пропускает 12 литров воды в минуту.

Ответ

12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №947

Тип задания: 11
Тема: Задачи на совместную работу

Условие

Один рабочий может выполнить заказ за 9 часов, другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят весь заказ оба рабочих вместе?

Показать решение

Решение

Весь заказ примем за 1, тогда \frac19 — часть работы, выполненная первым рабочим за 1 час, \frac16 — часть работы, выполненная вторым рабочим за 1 час. Тогда часть работы, выполненная двумя рабочими за 1 час равна \frac19+\frac16=\frac{5}{18}. Всю работу оба рабочих выполняют за 1:\frac{5}{18}=\frac{18}{5}=3,6 часа.

Ответ

3,6
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №946

Тип задания: 11
Тема: Задачи на совместную работу

Условие

Заказ на 180 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час изготавливает второй рабочий, если первый за час успевает сделать на 2 детали больше?

Показать решение

Решение

Пусть x деталей делает второй рабочий за один час. Тогда первый рабочий за один час делает (x+2) деталей. Время, за которое первый рабочий выполнит заказ на изготовление 180 деталей, равно \frac{180}{x+2}ч, второй рабочий \frac{180}{x}ч.

Составим и решим уравнение:

\frac{180}{x}-\frac{180}{x+2}=3,

180(x+2-x)=3x(x+2),

120=x^2+2x,

x^2+2x-120=0

x_1=-12,\,x_2=10.

Отрицательное значение не удовлетворяет условию. Второй рабочий делает 10 деталей в час.

Ответ

10
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №332

Тип задания: 11
Тема: Задачи на совместную работу

Условие

Ремонт одной и той же квартиры Виктор и Алексей делают за 8 дней. Андрей, работая с Виктором, затрачивают на работу столько же времени. Однако, Андрею с Алексеем на ремонт требуется 12 дней. Сколько дней займет ремонт квартиры при одновременной работе всех трех мастеров?

Показать решение

Решение

Примем объем работы за единицу. Пусть x — количество дней, за которое необходимо выполнить всю работу Виктору; за y дней работу выполнит Алексей, Андрей выполнит всю работу за z дней; тогда \frac{1}{x} — производительность Виктора, \frac{1}{y} — производительность Алексея, \frac{1}{z} — производительность Андрея.

По первому условию Виктор и Алексей сделают всю работу за 8 дней, значит, их общая производительность \frac18. Составим уравнение \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac18.

По второму условию Виктор и Андрей сделают всю работу за 8 дней. Значит, их общая производительность \frac18. Составим уравнение \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac18.

По третьему условию Андрей и Алексей выполнят всю работу за 12 дней. Значит, их общая производительность \frac{1}{12}. Составим уравнение \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{12}.

Получим систему уравнений:

\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac18,\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac18,\\ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{12}; \end{cases}

2\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=\frac18+\frac18+\frac{1}{12},

2\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=\frac13,

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac16,

1:\frac16=6 (дней).

Итак, всю работу Виктор, Алексей и Андрей сделают за 6 дней.

Ответ

6
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №331

Тип задания: 11
Тема: Задачи на совместную работу

Условие

Два маляра могут выполнить работу по покраске стен помещения за 15 дней, а первый из них в одиночку — за 20 дней. Сколько дней необходимо второму маляру, чтобы выполнить работу самостоятельно?

Показать решение

Решение

Пусть x — производительность труда первого маляра, y — производительность труда второго маляра. Тогда x+y - производительность труда обоих маляров при совместной работе. Обозначив всю проделанную работу по покраске стен за 1, получим, что первый маляр проделает эту работу в одиночку за \frac{1}{x} дней, второй маляр — за \frac{1}{y} дней, а два маляра, работая вместе, — за \frac{1}{x+y} дней. Составим и решим систему уравнений

\begin{cases} \frac{1}{x+y}=15 \\ \frac{1}{x}=20; \end{cases} \begin{cases} y=\frac{1}{15}-\frac{1}{20}, \\ x=\frac{1}{20}; \end{cases}

откуда y=\frac{1}{60}, \frac{1}{y}=60 дней. Таким образом, второй маляр, работая самостоятельно, выполнит всю работу за 60 дней.

Ответ

60
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №85

Тип задания: 11
Тема: Задачи на совместную работу

Условие

Первый рабочий обтачивает на токарном станке на 1 заготовку в день меньше, чем второй. При этом известно, что на обработку 420 деталей ему потребуется на 9 дней больше, чем второму на обтачивание 252 деталей. Определите, сколько деталей в день способен обточить второй рабочий.

Показать решение

Решение

Допустим, что второй рабочий за день способен обработать x деталей. В это время первый сделает x – 1 деталь. Время, которое нужно первому рабочему на то, чтобы выточить 420 деталей, равно \frac{420}{x-1} дней, второй же выточит 252 детали за \frac{252}{x} дней.

С учетом того, что на выполнение указанной работы первому рабочему нужно на 9 дней больше, чем второму, получаем уравнение:

\frac{420}{x-1} - \frac{252}{x}=9

Решаем его относительно x:

\frac{420}{x-1} - \frac{252}{x}=9 \cdot x(x-1)

420 \cdot x-252 \cdot (x-1)=9x \cdot (x-1)

9 \cdot x^2-9 \cdot x-420 \cdot x+252 \cdot x-252=0

9 \cdot x^2-177 \cdot x-252=0|:3

3 \cdot x^2-59 \cdot x-84=0

D = b^2 - 4ac = (-59)^2 -4\cdot 3\cdot (-84)=3481+1008=4489

x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2 \cdot a}=\frac{59-67}{6}=-\frac{8}{6}

x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2 \cdot a}=\frac{59+67}{6}=\frac{126}{6}=21

Количество деталей в час может быть только положительным числом, поэтому единственный ответ: x2 = 21 деталь делает второй рабочий за рабочий день.

Ответ

21

Задание №69

Тип задания: 11
Тема: Задачи на совместную работу

Условие

Оля и Витя начали одновременно решать одинаковый тест. За один час Оля успевает решать 12 вопросов, а Витя 21 вопрос. Оля закончила решать тест на 105 минут позже Вити. Определите количество вопросов в тесте.

Показать решение

Решение

Обозначим за x – количество вопросов в тесте. Тогда:

\frac{x}{12} – общее время решения всего теста Оли;

\frac{x}{21} – общее время решения всего теста Вити;

Мы знаем, что Оля решила тест на 105 (т.е. \frac74 часа) минут позже Вити, значит верно уравнение:

\frac{x}{12}-\frac{x}{21}=\frac{7}{4}

\frac{x}{28}=\frac{7}{4}

x=\frac{7 \cdot 28}{4}=49

Значит тест содержит 49 вопросов.

Ответ

49

Задание №59

Тип задания: 11
Тема: Задачи на совместную работу

Условие

Через первую трубу в бассейн попадает на 8 литров воды в минуту меньше, чем через вторую. Определите, сколько первая труба пропускает литров в минуту, если она заполняет бассейн объемом 180 литров на 8 минут дольше второй.

Показать решение

Решение

Пусть x – пропускная способность первой трубы. Тогда пропускная способность второй равна x + 8 литров. Первая труба заполняет бассейн объемом 180 литров за время \frac{180}{x}, соответственно вторая труба заполняет его за время \frac{180}{x+8}. Мы знаем, что вторая труба заполняет бассейн на 8 минут быстрее первой, поэтому можем составить уравнение:

\frac{180}{x}-\frac{180}{x+8}=8

180(x+8)-180x=8x(x+8)

180x+180\cdot 8-180x=8x^2+64x

8x^2+64x-180\cdot 8=0

x^2+8x-180=0

Данное квадратное уравнение имеет два решения. Найдем дискриминант:

D = b^2-4ac=64-4\cdot1\cdot(-180)=784

x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8\pm 28}{2}

x_1=10;\enspace x_2=-18

Так как пропускная способность воды не может быть отрицательной, то правильным ответом будет 10 литров

Ответ

10